חדו"א - פונקציות טריגונומטריות ואינטגרלים · שאלה 6-פונקציה טריגונומטרית
השאלה
נתונה הפונקציה: $f(x) = \frac{\sin x}{(\cos x + 1)^2}$ בתחום הסגור: $0 \le x \le 2\pi$. הנקודות $O$ ו-$E$ הן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-$x$ בתחום הנתון. א) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה בתחום הנתון. ב) קבע האם הישר $x = \pi$ הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. נמק את קביעתך (באמצעות שיקולי שאיפה או בדיקה מספרית). ג) 1) הראה כי נגזרת הפונקציה היא: $f'(x) = \frac{2 - \cos x}{(\cos x + 1)^2}$ 2) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון, וקבע את סוגן. ד) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה בתחום הגדרתה. ה) שרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הנתון. ו) נתונה פונקציית האינטגרל המצטבר: $g(t) = \int_{0}^{t} f(x) \, dx$ המוגדרת בתחום $0 \le t < \pi$. מצא את שיעור ה-$t$ של נקודת הקיצון של הפונקציה $g(t)$ בתחום הנתון, וקבע את סוגה. נמק.
הטיפ של עובד
בסעיף ג'1, כשאתם גוזרים את הפונקציה לפי כלל מנה, בשום פנים ואופן אל תמהרו לפתוח סוגריים במונה! הסוד הגדול ב-5 יחידות הוא הוצאת גורם משותף: שימו לב שהסוגריים $(\cos x + 1)$ משותפים לשני האיברים במונה – הוציאו אותם כגורם משותף וצמצמו אותם מייד עם המכנה. רק לאחר מכן השתמשו בזהות היסוד $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ ותגיעו אל היעד בקלילות ובאלגנטיות.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א': תחום הגדרה
הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס: $(\cos x + 1)^2 = 0 \Rightarrow \cos x = -1$. בתחום $0 \le x \le 2\pi$, הפתרון היחיד הוא $x = \pi$. תחום ההגדרה: $0 \le x \le 2\pi$ וגם $x \neq \pi$.
מושגים: תחום הגדרה, מכנה, אפסים
שלב 2: סעיף ב': אסימפטוטה אנכית
בנקודה $x = \pi$: המונה $\sin(\pi) = 0$ והמכנה $(\cos(\pi) + 1)^2 = (-1 + 1)^2 = 0$. קיבלנו מצב $\frac{0}{0}$. המכנה מתאפס מדרגה גבוהה יותר מהמונה (ריבוע לעומת אפס פשוט), לכן יש שאיפה לאינסוף. כן, $x = \pi$ היא אסימפטוטה אנכית.
מושגים: אסימפטוטה אנכית, דרגת התאפסות, גבולות
שלב 3: סעיף ג'1: גזירה לפי כלל מנה
נגזור לפי כלל מנה: $f'(x) = \frac{\cos x \cdot (\cos x + 1)^2 - \sin x \cdot 2(\cos x + 1)(-\sin x)}{(\cos x + 1)^4}$ נוציא את הגורם המשותף $(\cos x + 1)$ מהמונה: $f'(x) = \frac{(\cos x + 1)[\cos x(\cos x + 1) + 2\sin^2 x]}{(\cos x + 1)^4}$ נצמצם: $f'(x) = \frac{\cos^2 x + \cos x + 2\sin^2 x}{(\cos x + 1)^3}$ נשתמש ב-$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: מונה $= \cos^2 x + \cos x + 2(1 - \cos^2 x) = -\cos^2 x + \cos x + 2$ פירוק הטרינום: $-\cos^2 x + \cos x + 2 = (2 - \cos x)(\cos x + 1)$ צמצום נוסף: $f'(x) = \frac{(2 - \cos x)(\cos x + 1)}{(\cos x + 1)^3} = \frac{2 - \cos x}{(\cos x + 1)^2}$ ✓
מושגים: נגזרת, כלל מנה, כלל שרשרת, זהויות טריגונומטריות
שלב 4: סעיף ג'2: נקודות קיצון
נפתור $f'(x) = 0$: $2 - \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 2$. למשוואה אין פתרון כיוון שקוסינוס חסום: $-1 \le \cos x \le 1$. אין נקודות קיצון פנימיות. בנקודות הקצה: $(0, 0)$ ו-$(2\pi, 0)$.
מושגים: קיצון, נקודות קצה
שלב 5: סעיף ד': תחומי עלייה וירידה
בדיקת סימן הנגזרת: המונה $2 - \cos x > 0$ תמיד (כי $\cos x \le 1$). המכנה בריבוע תמיד חיובי (בתחום הגדרה). לכן $f'(x) > 0$ לכל $x$ בתחום הגדרה. הפונקציה עולה בכל תחומיה. תחומי עלייה: $0 \le x < \pi$ וגם $\pi < x \le 2\pi$. תחומי ירידה: אין.
מושגים: עלייה וירידה, סימן נגזרת
שלב 6: סעיף ו': אינטגרל מצטבר
לפי המשפט היסודי של החדו"א: $g'(t) = f(t)$. נקודות קיצון של $g$ מתקבלות כאשר $f(t) = 0$. בתחום $0 \le t < \pi$, זה קורה רק בנקודה $t = 0$. בתחום $0 < t < \pi$: $f(t) > 0$ (הגרף מעל ציר ה-x), ולכן $g'(t) > 0$. הפונקציה $g(t)$ עולה בהתמדה מנקודת ההתחלה. לכן $t = 0$ היא נקודת מינימום קצה.
מושגים: אינטגרל מצטבר, משפט יסודי, נגזרת של אינטגרל
פוקוס המורה הפרטי
הבחנה בין חור לאסימפטוטה אנכית באמצעות השוואת דרגות התאפסות, צמצום אלגברי אלגנטי בנגזרת מנה, קישור בין סימן הנגזרת לתכונות הפונקציה המקורית
