נגזרות · חקירת פונקציית שורש עם פרמטר
השאלה
נתונה הפונקציה: f(x) = (a - x) \cdot \sqrt{3x - 6} $a$ הוא פרמטר. א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. נתון כי הנקודה $(5, 9)$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$. ב. מצאו את הערך של $a$. הציבו $a = 8$ בפונקציה $f(x)$, וענו על הסעיפים ג-ו. ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$. ד. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן. ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. ו. פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x > 2$. קבעו איזה מן הגרפים I-IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$. נמקו את קביעתכם.
הטיפ של עובד
בבחירת הגרף של הנגזרת: אל תנחשו! הסתכלו על האסימפטוטה האנכית ב-$x=2$. אם תציבו בנגזרת שלכם ערך שקרוב מאוד ל-2 מימין (למשל $2.01$), האם המונה חיובי או שלילי? המכנה תמיד חיובי (שורש), ולכן סימן המונה יגיד לכם אם הפונקציה שואפת ל-$+\infty$ (גרף עולה למעלה) או ל-$-\infty$ (גרף יורד למטה). בדיקה פשוטה כזו פוסלת לכם מיד חצי מהאפשרויות. בנוסף, זכרו שנקודת הקיצון של הפונקציה (ב-$x=4$) היא נקודת החיתוך של הנגזרת עם ציר ה-$x$!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: תחום ההגדרה
עבור הפונקציה להיות מוגדרת, הביטוי תחת השורש חייב להיות אי-שלילי: $3x - 6 \ge 0$, מכאן $x \ge 2$.
מושגים: תחום הגדרה, שורש
שלב 2: מציאת הפרמטר
הנקודה $(5, 9)$ נמצאת על גרף הפונקציה. מציבים: $f(5) = (a - 5) \cdot \sqrt{3 \cdot 5 - 6} = (a - 5) \cdot \sqrt{9} = (a - 5) \cdot 3 = 9$. לכן $a - 5 = 3$ ו-$a = 8$.
מושגים: פרמטר, הצבה בפונקציה
שלב 3: נקודות חיתוך עם ציר ה-x
עם $a = 8$: $f(x) = (8 - x) \cdot \sqrt{3x - 6}$. חיתוך עם ציר ה-x: $f(x) = 0$ כאשר $8 - x = 0$ או $\sqrt{3x - 6} = 0$. זה נותן $x = 8$ או $x = 2$. הנקודות הן $(2, 0)$ ו-$(8, 0)$.
מושגים: חיתוך צירים, זירוקים
שלב 4: נקודות קיצון
נקודת קצה: $x = 2$ הוא גבול התחום, ו-$f(2) = 0$, לכן מינימום קצה ב-$(2, 0)$. לנקודות קיצון פנימיות, נחשב נגזרת בעזרת כלל המכפלה: $f'(x) = -\sqrt{3x - 6} + (8 - x) \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x - 6}} = \frac{-2(3x - 6) + 3(8 - x)}{2\sqrt{3x - 6}} = \frac{-9x + 36}{2\sqrt{3x - 6}}$. קביעת קיצון: $f'(x) = 0$ כאשר $-9x + 36 = 0$, לכן $x = 4$. בנקודה $x = 4$: $f(4) = (8 - 4) \cdot \sqrt{12 - 6} = 4\sqrt{6}$. מקסימום מוחלט ב-$(4, 4\sqrt{6})$.
מושגים: קיצון, נגזרת, כלל המכפלה
שלב 5: סקיצה של גרף הפונקציה
הפונקציה מוגדרת בתחום $x \ge 2$. היא מתחילה בנקודה $(2, 0)$, עולה למקסימום ב-$(4, 4\sqrt{6})$, ואז יורדת עד הנקודה $(8, 0)$. לאחר מכן ממשיכה לרדת לערכים שליליים.
מושגים: סקיצה, גרף פונקציה
שלב 6: בחירת גרף הנגזרת
הנגזרת $f'(x) = \frac{-9x + 36}{2\sqrt{3x - 6}}$ חיובית כאשר $-9x + 36 > 0$, כלומר $x < 4$, ושלילית כאשר $x > 4$. יש אסימפטוטה אנכית ב-$x = 2$ (המכנה שואף לאפס). בנקודה $x = 4$, הנגזרת חוצה את ציר ה-x. גרף I הוא הנכון: הוא מתחיל עם אסימפטוטה אנכית ב-$x=2$, עולה (חיובי) עד $x=4$, חוצה את ציר ה-x בנקודה זו, ואחרי זה יורד (שלילי).
מושגים: נגזרת, אסימפטוטה אנכית, גרף נגזרת
