פונקציות רציונליות · חקירת פונקציה רציונלית
השאלה
נתונה הפונקציה: $f(x) = \frac{(x-1)^3}{x+b}$, כאשר $b < 0$ הוא פרמטר. המרחק בין נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים הוא $\frac{\sqrt{17}}{4}$. א. מצא את ערכו של $b$. הצב $b = -4$ וענה על הסעיפים הבאים: ב. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה ואת סוגן, אם ישנן. ד. ידוע כי פונקציית הנגזרת $f'(x)$ עולה בתחומים $1 < x < 4$ או $x > 4$ ויורדת בתחום $x < 1$. מצא את נקודת הפיתול של הפונקציה $f(x)$. ה. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. ו. קבע האם הטענות הבאות נכונות או לא נכונות ונמק: (i) למשוואה $\frac{(x-1)^3}{x-4} = 70$ יש שלושה פתרונות $x_1, x_2, x_3$ המקיימים $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 > 0$. (ii) מתקיים: $\int_{0}^{1} f(x) \, dx < \frac{1}{8}$.
הטיפ של עובד
סעיף ו' הוא הפנינה האמיתית של השאלה! בטענה (i), העבירו ישר אופקי $y=70$ על גבי הסקיצה. מאחר שנקודת המינימום היא ב-$y=60.75$, הישר יחתוך את הענף הימני פעמיים (שני פתרונות חיוביים) ואת הענף השמאלי פעם אחת (פתרון שלילי). בטענה (ii), הפונקציה קעורה כלפי מטה בתחום $[0,1]$, ולכן הגרף נמצא מעל המיתר המחבר את נקודות הקצה.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א': מציאת הפרמטר b
מציאת נקודות החיתוך עם הצירים: חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר המונה מתאפס, כלומר $x = 1$ → נקודה $(1, 0)$. חיתוך עם ציר ה-y מתקבל בהצבת $x = 0$: $f(0) = \frac{(-1)^3}{b} = -\frac{1}{b}$ → נקודה $(0, -\frac{1}{b})$. d^2 = (1-0)^2 + \left(0 - (-\frac{1}{b})\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{17}}{4}\right)^2 1 + \frac{1}{b^2} = \frac{17}{16} \Rightarrow \frac{1}{b^2} = \frac{1}{16} \Rightarrow b^2 = 16 מכיוון שנתון $b < 0$, נקבל $b = -4$.
מושגים: מרחק בין נקודות, פרמטר, חיתוך עם צירים
שלב 2: סעיף ב': תחום הגדרה
הצבת $b = -4$ נותנת $f(x) = \frac{(x-1)^3}{x-4}$. הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס: x - 4 = 0 \Rightarrow x \neq 4
מושגים: תחום הגדרה, אסימפטוטה אנכית
שלב 3: סעיף ג': נקודות קיצון
גזירה לפי כלל המנה: f'(x) = \frac{3(x-1)^2(x-4) - (x-1)^3}{(x-4)^2} הוצאת הגורם המשותף $(x-1)^2$ מהמונה: f'(x) = \frac{(x-1)^2[3(x-4) - (x-1)]}{(x-4)^2} = \frac{(x-1)^2(2x-11)}{(x-4)^2} הנגזרת מתאפסת ב-$x = 1$ (גורם בריבוע, לא קיצון) ו-$x = 5.5$. בדיקת סימן: עבור $x = 5.5$ הנגזרת עוברת משלילית לחיובית → מינימום. חישוב הערך: $f(5.5) = \frac{(4.5)^3}{1.5} = \frac{91.125}{1.5} = 60.75$.
מושגים: נגזרת, כלל מנה, קיצון, בדיקת סימן
שלב 4: סעיף ד': נקודת פיתול
על פי הנתון: $f'(x)$ יורדת עבור $x < 1$ ועולה עבור $x > 1$. זה אומר שלנגזרת יש נקודת מינימום ב-$x = 1$, מה שאומר שלפונקציה המקורית יש נקודת פיתול שם. מסעיף א' ידוע שהפונקציה חוותכת את ציר ה-x בנקודה $x = 1$, כלומר $f(1) = 0$. לכן נקודת הפיתול היא $(1, 0)$.
מושגים: פיתול, נגזרת שנייה, קעירות
שלב 5: סעיף ה': סקיצה של הגרף
מושגים: גרפיקה, אסימפטוטה, קיצון, פיתול
שלב 6: סעיף ו': בדיקת טענות גרפית
טענה (i): המשוואה $\frac{(x-1)^3}{x-4} = 70$ שקולה ל-$f(x) = 70$. השאלה היא כמה פעמים הגרף חוותך את הישר האופקי $y = 70$. הישר נמצא מעל נקודת המינימום ב-$y = 60.75$, ולכן הוא חוותך את הענף הימני פעמיים (שני ערכי x חיוביים) ואת הענף השמאלי פעם אחת משמאל לציר ה-y (ערך x שלילי). מכפלה של שלוש מספרים: שניים חיוביים ואחד שלילי היא שלילית, לא חיובית. **טענה זו לא נכונה.** טענה (ii): בתחום $[0,1]$, הנגזרת של $f$ יורדת (מסעיף ד'), מה שאומר שהפונקציה קעורה כלפי מטה. גרף הפונקציה לכן נמצא מעל המיתר המחבר את $(0, 1/4)$ ו-$(1, 0)$. שטח המשולש מתחת למיתר הוא $\frac{1 \cdot (1/4)}{2} = 1/8$. מכיוון שהפונקציה תוחמת שטח גדול משטח המשולש, מתקיים $\int_0^1 f(x)dx > 1/8$. **טענה זו לא נכונה.**
מושגים: פתרון גרפי, קעירות, אינטגרל, אנליזה
