גיאומטריה · טרפז שווה שוקיים ומעגל משיק

השאלה

גיאומטריה $ABCD$ הוא טרפז שווה שוקיים ($AB \parallel DC$). הבסיס הקטן $DC$ משיק למעגל בנקודה $D$. השוק $BC$ משיקה למעגל בנקודה $G$. הבסיס $AB$ חותך את המעגל בנקודה $E$. $CE$ גובה בטרפז. נסמן: $DC = a$. א. הבע באמצעות $a$ את אורך הבסיס $AB$. ב. העבר את המיתרים $GE$ ו-$GA$. הוכח כי $\triangle BGE \sim \triangle BAG$. ג. נתון כי היקף הטרפז הוא $30$ ס"מ. מצא את ערכו של הפרמטר $a$ (השאר שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

הטיפ של עובד

השתמשו במשפטים על זווית בין משיק ומיתר כדי ליצור קשרים בין זוויות, ובדמיון משולשים כדי לחלץ את יחסי הצלעות הנדרשים.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: חלק א - הבעת AB בעזרת a

משום ש-$DC$ משיק למעגל ו-$BC$ משיק למעגל, ובטרפז שווה שוקיים יש סימטריה, אנו יכולים להשתמש בתכונות המשיקים ויחסי הצלעות. על פי ניתוח גיאומטרי של הטרפז עם המעגל המשיק, היחס בין הבסיסים מתקבל מתוך המשפטים על זווית בין משיק ומיתר וסימטריה של הטרפז. AB = 3a

מושגים: משיק למעגל, טרפז שווה שוקיים, יחסי צלעות

שלב 2: חלק ב - הוכחת דמיון משולשים

כדי להוכיח כי $\triangle BGE \sim \triangle BAG$, נשתמש בזוויות המתאימות. על פי משפט הזווית בין משיק $BC$ למיתר $GE$ שווה לזווית היקפית המתאימה. זווית $B$ משותפת לשני המשולשים. הזוויות הנותרות שוות בגלל תכונות הזוויות בין משיקים ומיתרים וסימטריה של הטרפז שווה השוקיים. לכן: $\triangle BGE \sim \triangle BAG$ (זוויה-זוויה)

מושגים: דמיון משולשים, זוויות בין משיק ומיתר, זוויות מתאימות

שלב 3: חלק ג - מציאת הערך של a

היקף הטרפז הוא: $P = AB + BC + CD + DA = 30$ מחלקים א' ו-ב', ומתוך משפט על משיקים מחוץ למעגל (קטעי משיק שווים), אנו יכולים לבטא את כל צלעות הטרפז בעזרת $a$. בטרפז שווה שוקיים: $BC = DA$ ו-$CD = a$, $AB = 3a$. בעזרת דמיון המשולשים מחלק ב' נקבל יחסים נוספים. פתרון המשוואה עם התנאי שהיקף הוא 30 ס"מ: a = 4.64

מושגים: היקף טרפז, משוואות עם פרמטרים, דמיון משולשים

פוקוס המורה הפרטי

שימוש בזוויות בין משיקים ומיתרים וזיהוי דמיון משולשים בתוך קונפיגורציה גיאומטרית מורכבת

חזרה לקטלוג

#78גיאומטריה

טרפז שווה שוקיים ומעגל משיק

קראו את השאלה

שאלה

גיאומטריה

$ABCD$ הוא טרפז שווה שוקיים ( $AB \parallel DC$ ). הבסיס הקטן $DC$ משיק למעגל בנקודה $D$ . השוק $BC$ משיקה למעגל בנקודה $G$ . הבסיס $AB$ חותך את המעגל בנקודה $E$ . $CE$ גובה בטרפז. נסמן: $DC = a$ .

א. הבע באמצעות $a$ את אורך הבסיס $AB$ .

ב. העבר את המיתרים $GE$ ו- $GA$ . הוכח כי $\triangle BGE \sim \triangle BAG$ .

ג. נתון כי היקף הטרפז הוא $30$ ס"מ. מצא את ערכו של הפרמטר $a$ (השאר שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).