חזרה לקטלוג
#30סדרות הנדסיות
סדרות הנדסיות אינסופיות ויורדותקראו את השאלה
שאלה
נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת. כל איבר בסדרה זו קטן פי 2 מסכום כל האיברים שאחריו. סכום הסדרה ההנדסית הנתונה הוא 4.
מצא את סכום כל האיברים שאחרי האיבר העשירי בסדרה.
סדרות הנדסיות · סדרות הנדסיות אינסופיות ויורדות
השאלה
נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת. כל איבר בסדרה זו קטן פי 2 מסכום כל האיברים שאחריו. סכום הסדרה ההנדסית הנתונה הוא 4. מצא את סכום כל האיברים שאחרי האיבר העשירי בסדרה.
הטיפ של עובד
אל תתחילו להסתבך עם חיסור של סכומים ארוכים! הסוד של סדרה אינסופית הוא שכל תת-קבוצה של איברים היא סדרה הנדסית בפני עצמה. כשמדברים על "סכום האיברים שאחרי $a_n$", האיבר הראשון של הסדרה הזו הוא פשוט $a_{n+1}$. באותו אופן, סכום האיברים שאחרי האיבר ה-10 הוא סדרה אינסופית שמתחילה ב-$a_{11}$. קצר, נקי וקולע!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: שלב א': מציאת מנת הסדרה $q$
הנתון אומר: $a_n = \frac{1}{2} \cdot S_{\text{following } a_n}$. סכום האיברים אחרי $a_n$ הוא סדרה אינסופית שמתחילה ב-$a_{n+1}$. a_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{a_{n+1}}{1-q} מכיוון ש-$a_{n+1} = a_n \cdot q$, נציב ונקבל: a_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{a_n \cdot q}{1-q} נחלק ב-$a_n$ (הרי אינו אפס): 1 = \frac{q}{2(1-q)} \implies 2 - 2q = q \implies 3q = 2 \implies q = \frac{2}{3}
מושגים: סדרה הנדסית, מנת הסדרה, סכום אינסופי
שלב 2: שלב ב': מציאת האיבר הראשון $a_1$
נתון כי סכום כל הסדרה הוא 4. נשתמש בנוסחת הסכום לאינסופית מתכנסת: S = \frac{a_1}{1 - q} \implies 4 = \frac{a_1}{1 - 2/3} 4 = \frac{a_1}{1/3} \implies a_1 = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}
מושגים: סכום סדרה הנדסית אינסופית, איבר ראשון
שלב 3: שלב ג': חישוב הסכום המבוקש
עלינו למצוא את סכום האיברים מהמקום ה-11 ואילך: S_{\text{requested}} = a_{11} + a_{12} + a_{13} + \dots זוהי סדרה הנדסית אינסופית שאיברה הראשון הוא $a_{11}$: S_{\text{after } 10} = \frac{a_{11}}{1-q} = \frac{a_1 \cdot q^{10}}{1-q} נציב את הערכים שמצאנו: S_{\text{after } 10} = \frac{\frac{4}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{10}}{\frac{1}{3}} = 4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{10}
מושגים: סדרה הנדסית אינסופית, סכום חלקי, חישוב
תשובה סופית
התשובה הסופית: 4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{10}