פונקציות רציונליות · חקירת פונקציה רציונלית והערכת שטח
השאלה
נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{4x - x^2}{x^2 - ax + b}$, כאשר $a$ ו-$b$ פרמטרים. הישר $x=1$ הוא האסימפטוטה האנכית היחידה של הפונקציה. כמו כן, קיים ערך נוסף (חוץ מ-$x=1$) עבורו הפונקציה לא מוגדרת. א. מצא את הערך של $a$ ושל $b$ (2 אפשרויות). ב. הצב בפונקציה את ערכי $a$ ו-$b$ עבור האפשרות בה שניהם חיוביים ומצא את: (i) תחום ההגדרה של הפונקציה. (ii) נקודות הקיצון של הפונקציה, אם ישנן. (iii) תחומי העלייה והירידה של הפונקציה, אם ישנם. (iv) נקודת החיתוך של הפונקציה עם הצירים. (v) האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה. ג. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ד. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הישר $y = 0.5x - 3$. ה. הוכח כי השטח $S$ המוגבל בין הפונקציה $f(x)$ ובין הישר $y = 0.5x - 3$ מקיים: S < \frac{1}{4} (אין צורך לחשב את האינטגרל).
הטיפ של עובד
טיפ לזיהוי חורים: המשפט "קיים ערך נוסף שעבורו הפונקציה אינה מוגדרת אך איננו אסימפטוטה אנכית" זועק אליכם: חור! (אי-רציפות סליקה). כדי שתיווצר נקודת חור, הערך חייב לאפס גם את המכנה וגם את המונה. תבדקו מתי המונה מתאפס ($x=0$ ו-$x=4$).
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א': מציאת הפרמטרים a ו-b
כיוון ש-$x=1$ היא אסימפטוטה אנכית, היא מאפסת את המכנה: 1 - a + b = 0 \Rightarrow a = b + 1 כיוון שקיים ערך נוסף שמאפס את המכנה אך איננו אסימפטוטה אנכית, הוא חייב להיות חור (אי-רציפות סליקה). כלומר, הוא מאפס גם את המונה. המונה מתאפס ב-$x=0$ ו-$x=4$. אפשרות 1 (חור ב-$x=0$): $0^2 - a(0) + b = 0 \Rightarrow b = 0 \Rightarrow a = 1$ אפשרות 2 (חור ב-$x=4$): $16 - 4a + b = 0$. עם $a = b + 1$: $16 - 4(b+1) + b = 0 \Rightarrow 12 = 3b \Rightarrow b = 4, a = 5$
מושגים: פרמטרים, אסימפטוטה אנכית, אי-רציפות סליקה
שלב 2: סעיף ב'(i): תחום הגדרה
עבור אפשרות 2 בה שניהם חיוביים: $a = 5, b = 4$ f(x) = \frac{4x - x^2}{x^2 - 5x + 4} = \frac{-x(x-4)}{(x-1)(x-4)} המכנה מתאפס ב-$x=1$ וב-$x=4$. תחום ההגדרה: x \neq 1, x \neq 4
מושגים: תחום הגדרה, מכנה
שלב 3: סעיף ב'(ii)-(iii): קיצון ותחומי עלייה/ירידה
לאחר צמצום הגורם $(x-4)$ (עם זכירה ש-$x \neq 4$): f_{צומצם}(x) = \frac{-x}{x-1} נגזור: f'(x) = \frac{-1(x-1) - (-x)(1)}{(x-1)^2} = \frac{1}{(x-1)^2} > 0 הנגזרת חיובית תמיד. לכן אין נקודות קיצון. הפונקציה עולה בכל מרכיבי תחום הגדרתה: $x < 1$, $1 < x < 4$, $x > 4$.
מושגים: נגזרת, קיצון, מונוטוניות, צמצום
שלב 4: סעיף ב'(iv): חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר y ($x=0$): f(0) = \frac{0}{-1} = 0 חיתוך עם ציר x ($y=0$): גם $x=0$. הערך $x=4$ נפסל מכיוון שהוא חור בגרף. נקודת החיתוך היחידה: $(0, 0)$
מושגים: חיתוך עם צירים, אפסים
שלב 5: סעיף ב'(v): אסימפטוטות
אסימפטוטה אנכית: הערך שמאפס את המכנה לאחר צמצום: x = 1 אסימפטוטה אופקית: כיוון שדרגת המונה שווה לדרגת המכנה, יחס המקדמים הוא: y = \frac{-1}{1} = -1
מושגים: אסימפטוטה אנכית, אסימפטוטה אופקית, גרדוס
שלב 6: סעיף ד': חיתוך עם הישר
משוואה: \frac{-x}{x-1} = 0.5x - 3 הכפלה בשני הצדדים ב-$(x-1)$ וסידור: -x = (0.5x - 3)(x - 1) \Rightarrow 0.5x^2 - 2.5x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ או } x = 3 הצבה בישר: y(2) = 0.5(2) - 3 = -2, \quad y(3) = 0.5(3) - 3 = -1.5 נקודות החיתוך: $(2, -2)$ ו-$(3, -1.5)$
מושגים: חיתוך של גרפים, משוואה ריבועית
שלב 7: סעיף ה': הוכחה גיאומטרית של חסם השטח
בניית מלבן חוסם בעזרת נקודות החיתוך $(2, -2)$ ו-$(3, -1.5)$: \Delta x = 3 - 2 = 1, \quad \Delta y = -1.5 - (-2) = 0.5 שטח המלבן: A_{\text{מלבן}} = 1 \times 0.5 = 0.5 הישר $y = 0.5x - 3$ מחבר את שתי נקודות החיתוך, ולכן הוא האלכסון של המלבן. האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים שווים, שטח כל אחד: A_{\text{משולש}} = \frac{0.5}{2} = \frac{1}{4} כיוון שהפונקציה עולה תמיד בתחום $[2,3]$ ולא חורגת מתקרת המלבן, היא נמצאת כולה בתוך המשולש העליון. לכן: S < \frac{1}{4} מש"ל
מושגים: שטח, גיאומטריה, חסם, אי-שוויון, משולש
פוקוס המורה הפרטי
זיהוי וטיפול בנקודות אי-רציפות סליקה; חקירת פונקציה רציונלית לאחר צמצום; הוכחת חסם שטח בעזרת גיאומטריה
