נגזרות וקיצון · בעיות קיצון גיאומטריות - טרפז חסום במעגל
השאלה
📍 בעיית קיצון מורחבת: טרפז חסום במעגל נתון מעגל שרדיוסו $R$. במעגל זה חסום טרפז שווה-שוקיים, כך שהבסיס הגדול של הטרפז הוא קוטר במעגל. נסמן ב-$x$ את מחצית אורך הבסיס הקטן. (א) הבע את שטח הטרפז באמצעות $R$ ו-$x$. (ב) הבע באמצעות $R$ את אורך הבסיס הקטן שעבורו שטח הטרפז מקסימלי. (ג) מצא את גודל הזווית שליד הבסיס הגדול בטרפז בעל השטח המקסימלי. נתון כי השטח המקסימלי של הטרפז הוא $27\sqrt{3}$. (ד) חשב את רדיוס המעגל $R$. (ה) חשב את היקף הטרפז ששטחו מקסימלי.
הטיפ של עובד
זה היופי בשאלות בגרות מרובות סעיפים – הסעיפים 'מדברים' אחד עם השני! אם בסעיף א' מצאתם ביטוי עם שורש, אל תפחדו לגזור אותו בסעיף ב', המכנה יצטמצם מהר מאוד כשנשווה לאפס. סעיף ג' הוא הבונוס האמיתי: ברגע שמצאתם את הנקודה המקסימלית, תגלו שהטרפז הזה בנוי בדיוק מ-3 משולשים שווי צלעות חופפים שצלעם היא $R$. הכל מתחבר כמו פאזל כדי שתוכלו לחשב את $R$ ואת ההיקף בסוף בקלות!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: בניית פונקציית השטח - סעיף א'
נעביר רדיוס אל קודקוד הבסיס הקטן ונוריד גובה. לפי משפט פיתגורס, גובה הטרפז הוא: h = \sqrt{R^2 - x^2} נוסחת השטח היא מכפלת ממוצע הבסיסים בגובה: S(x) = \frac{2R + 2x}{2} \cdot \sqrt{R^2 - x^2} = (R+x)\sqrt{R^2 - x^2}
מושגים: שטח טרפז, משפט פיתגורס, גובה
שלב 2: גזירה ומציאת הקיצון - סעיף ב'
נגזור בעזרת כלל מכפלה ונשווה ל-0: S'(x) = \sqrt{R^2-x^2} + (R+x)\frac{-2x}{2\sqrt{R^2-x^2}} = 0 (R^2 - x^2) - x(R + x) = 0 -2x^2 - Rx + R^2 = 0 פתרון המשוואה הריבועית נותן $x = 0.5R$. הבסיס הקטן הוא $2x = R$.
מושגים: נגזרת, קיצון, כלל מכפלה
שלב 3: חישוב הזווית - סעיף ג'
כאשר $x = 0.5R$, הגובה הוא: h = \sqrt{R^2 - (0.5R)^2} = \sqrt{0.75R^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}R אורך השוק בפיתגורס: \text{Side} = \sqrt{(0.5R)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}R)^2} = \sqrt{0.25R^2 + 0.75R^2} = R במשולש ישר זווית בקצה, היתר הוא $R$ והניצב שליד הזווית הוא $0.5R$: \cos \alpha = \frac{0.5R}{R} = 0.5 \implies \alpha = 60°
מושגים: זווית, קוסינוס, משולש ישר זווית
שלב 4: חישוב הרדיוס - סעיף ד'
נציב $x = 0.5R$ בפונקציית השטח: S_{max} = (R + 0.5R)\sqrt{R^2 - (0.5R)^2} = 1.5R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}R = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 נשווה לנתון: \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 = 27\sqrt{3} \implies \frac{3}{4}R^2 = 27 \implies R^2 = 36 \implies R = 6
מושגים: משוואה, פתרון, שורש
שלב 5: חישוב ההיקף - סעיף ה'
היקף הטרפז מורכב מ: בסיס גדול ($2R$) + בסיס קטן ($R$) + שתי שוקיים ($R$ ו-$R$): P = 2R + R + R + R = 5R = 5 \cdot 6 = 30
מושגים: היקף, סכום, חשבון
פוקוס המורה הפרטי
הבנת הקשרים בין סעיפים בבעיית קיצון מרובה חלקים ויישום כללי גזירה
