חקירת פונקציה טריגונומטרית · חקירת פונקציה טריגונומטרית עם מכנה
השאלה
נושא: חקירת פונקציה טריגונומטרית עם מכנה נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{1}{\cos x}$. א. מצא אם הפונקציה $f(x)$ היא זוגית או אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית. נמק. ב. בתחום $-\pi \le x \le \pi$: (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה, ואת האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה). (2) מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. נמק. (3) שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ג. נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) \cdot \cos x$. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ בתחום הנתון. ד. נתונה הפונקציה $p(x) = \frac{1}{\sin x}$. ידוע כי ניתן לקבל את גרף הפונקציה $p(x)$ על ידי הזזה אופקית של גרף הפונקציה $f(x)$. בכמה יחידות ולאיזה כיוון יש להזיז את גרף הפונקציה $f(x)$ כדי לקבל את גרף הפונקציה $p(x)$?
הטיפ של עובד
פונקציה מהצורה של $\frac{1}{\cos x}$ יכולה להיראות מאיימת, אבל היא בעצם תמונת הראי של $\cos x$ הרגילה! תחשבו על זה ככה: בכל מקום שבו הקוסינוס הרגיל שווה לאפס וחותך את הציר, הפונקציה שלנו מתפוצצת ומייצרת אסימפטוטה אנכית. ובכל מקום שבו לקוסינוס הרגיל יש "פסגה" (מקסימום 1), לפונקציה שלנו תהיה "עמק" (מינימום 1), ולהיפך. לגבי סעיפי החשיבה בסוף: בסעיף ג', תיזהרו מ"מלכודת הצמצום"! נכון שהאלגברה מפתה לצמצם הכל לקו ישר, אבל פונקציה תמיד זוכרת מאיפה היא באה – תחום ההגדרה המקורי נשאר! בסעיף ד', פשוט היזכרו בקשר המשפחתי (ההזזה) בין גל סינוס לגל קוסינוס.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א': זוגיות הפונקציה
כדי לבדוק זוגיות, נציב $-x$ במקום $x$ בפונקציה שלנו: f(-x) = \frac{1}{\cos(-x)} על סמך הזהות הטריגונומטרית הבסיסית, הקוסינוס "בולע" את המינוס: $\cos(-x) = \cos x$. נציב זאת חזרה: f(-x) = \frac{1}{\cos x} = f(x) קיבלנו $f(-x) = f(x)$, ולכן הפונקציה היא זוגית. המשמעות הגרפית היא שהגרף יהיה סימטרי לחלוטין ביחס לציר ה-$y$.
מושגים: זוגיות פונקציות, זהויות טריגונומטריות, קוסינוס
שלב 2: סעיף ב' (1): תחום הגדרה ואסימפטוטות
תחום הגדרה: המכנה אסור שיתאפס. \cos x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k בתחום שלנו $-\pi \le x \le \pi$, הפונקציה מתאפסת עבור $x = \frac{\pi}{2}$ ו-$x = -\frac{\pi}{2}$. תחום ההגדרה: $-\pi \le x < -\frac{\pi}{2}$ או $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ או $\frac{\pi}{2} < x \le \pi$. אסימפטוטות אנכיות: הנקודות שאיפסו את המכנה אינן מאפסות את המונה (שהוא תמיד 1), לכן הן אסימפטוטות אנכיות: $x = \frac{\pi}{2}$ ו-$x = -\frac{\pi}{2}$. אין אסימפטוטות אופקיות בפונקציות טריגונומטריות מחזוריות.
מושגים: תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות, אפסים של מכנה
שלב 3: סעיף ב' (2): נקודות קיצון
נגזור את הפונקציה בשיטת כלל המנה: f'(x) = \frac{0 \cdot \cos x - 1 \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} נשווה את המונה לאפס: $\sin x = 0$ ⟹ $x = 0, -\pi, \pi$ בתחום שלנו. סיווג הנקודות: • ב-$x=0$: כש-$x < 0$ הנגזרת שלילית (ירידה), וכש-$x > 0$ הנגזרת חיובית (עלייה), לכן זה מינימום מקומי. $f(0) = \frac{1}{1} = 1$, הנקודה $(0,1)$. • ב-$x=-\pi$: הנגזרת שלילית משמאל, ולכן זה מקסימום קצה. $f(-\pi) = \frac{1}{-1} = -1$, הנקודה $(-\pi,-1)$. • ב-$x=\pi$: הנגזרת חיובית משמאל, ולכן זה מקסימום קצה. $f(\pi) = \frac{1}{-1} = -1$, הנקודה $(\pi,-1)$.
מושגים: נקודות קיצון, נגזרת, סיווג קיצון
שלב 4: סעיף ב' (3): סקיצה של גרף הפונקציה
הגרף מורכב משלוש ענפים: • ענף שמאלי: בין $x = -\pi$ ל-$x = -\frac{\pi}{2}$, יורד מ-$(-\pi,-1)$ לאסימפטוטה • ענף אמצעי: בין $x = -\frac{\pi}{2}$ ל-$x = \frac{\pi}{2}$, עם מינימום ב-$(0,1)$ וקצוות הולכים לאינסוף • ענף ימני: בין $x = \frac{\pi}{2}$ ל-$x = \pi$, עולה מאסימפטוטה ל-$(\pi,-1)$ ישנן אסימפטוטות אנכיות ב-$x = \pm\frac{\pi}{2}$ (קווים מנוקדים אדומים).
מושגים: סקיצה של גרף, ענפי פונקציה, אסימפטוטות
שלב 5: סעיף ג': מלכודת הצמצום והחורים
נתונה הפונקציה $g(x)$: g(x) = f(x) \cdot \cos x = \frac{1}{\cos x} \cdot \cos x מבחינה אלגברית הביטוי מצטמצם ל-1, אבל! אי אפשר לצמצם כאשר המכנה שווה לאפס. מכיוון שהפונקציה המקורית $f(x)$ לא הייתה מוגדרת ב-$x = \pm\frac{\pi}{2}$, גם $g(x)$ לא מוגדרת שם. לכן הגרף של $g(x)$ הוא הקו הישר $y = 1$, אך עם "חורים" (נקודות אי-רציפות סליקה) ב-$x = \pm\frac{\pi}{2}$. הנקודות $(\frac{\pi}{2}, 1)$ ו-$(-\frac{\pi}{2}, 1)$ אינן חלק מהגרף.
מושגים: אי-רציפות סליקה, תחום הגדרה מורשת, צמצום אלגברי
שלב 6: סעיף ד': הזזות וקשרים משפחתיים
נצא מהשאלה: כיצד להפוך את $f(x) = \frac{1}{\cos x}$ ל-$p(x) = \frac{1}{\sin x}$ בעזרת הזזה אופקית? נשתמש בזהות הטריגונומטרית: \sin x = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) נציב במשוואה של $p(x)$: p(x) = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)} הביטוי שקיבלנו הוא בדיוק $f$ עם $x$ מוחלף ב-$x - \frac{\pi}{2}$: p(x) = f\left(x - \frac{\pi}{2}\right) הפחתת קבוע מ-$x$ בתוך הפונקציה גורמת להזזה ימינה. לכן יש להזיז את גרף $f(x)$ ב-$\frac{\pi}{2}$ יחידות ימינה.
מושגים: הזזות אופקיות, זהויות טריגונומטריות, סינוס וקוסינוס
