סדרות הנדסיות · סדרות הנדסיות אינסופיות ושינויי סימנים

השאלה

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית יורדת: $a_1, a_2, a_3, a_4, \dots$. סכום כל איברי הסדרה בלי האיבר הראשון הוא $6$. מחליפים את הסימנים של כל האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה, ומתקבלת סדרה הנדסית חדשה: $a_1, -a_2, a_3, -a_4, \dots$. סכום כל איברי הסדרה החדשה בלי האיבר הראשון הוא $-3$. מהאיברים של הסדרה הנתונה בנו סדרה שלישית: $\frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \frac{1}{a_4}, \dots$. א. הוכח כי הסדרה השלישית היא סדרה הנדסית. ב. נתון כי סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה השלישית הוא $273.25$. מצא את $n$.

הטיפ של עובד

שימו לב למילים "בלי האיבר הראשון" – זה אומר שהסכום מתחיל מהאיבר השני ($a_2$), אך המנה נשארת $q$. כשמשנים סימנים במקומות זוגיים, המנה הופכת מ-$q$ ל-$-q$. תמיד תתחילו בלמצוא את הפרמטרים של הסדרה המקורית.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: מציאת q ו-$a_1$

נסמן את מנת הסדרה המקורית ב-$q$. נתון כי סכום האיברים ללא האיבר הראשון הוא $6$. האיבר הראשון של סכום זה הוא $a_2$: \frac{a_2}{1-q} = 6 \implies \frac{a_1 q}{1-q} = 6 בסדרה החדשה המנה היא $-q$. הסכום ללא האיבר הראשון מתחיל ב-$-a_2$: \frac{-a_1 q}{1-(-q)} = -3 \implies \frac{a_1 q}{1+q} = 3 נחלק את המשוואה הראשונה בשנייה: \frac{1+q}{1-q} = 2 \implies 1+q = 2 - 2q \implies 3q = 1 \implies q = \frac{1}{3} נציב את $q$ למציאת $a_1$: \frac{a_1 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 6 \implies \frac{a_1}{2} = 6 \implies a_1 = 12

מושגים: סדרה הנדסית, מנה, סכום סדרה

שלב 2: הוכחת הסדרה השלישית (סעיף א)

הסדרה השלישית בנויה מהאיברים: $b_k = \frac{1}{a_{k+1}}$. נבדוק את היחס בין שני איברים עוקבים: Q = \frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{\frac{1}{a_{k+2}}}{\frac{1}{a_{k+1}}} = \frac{a_{k+1}}{a_{k+2}} = \frac{1}{q} = \frac{1}{1/3} = 3 כיוון שהמנה $Q$ היא מספר קבוע, הסדרה היא סדרה הנדסית.

מושגים: סדרה הנדסית, הוכחה, מנה קבועה

שלב 3: מציאת n (סעיף ב)

בסדרה השלישית: האיבר הראשון הוא $b_1 = \frac{1}{a_2} = \frac{1}{12 \cdot \frac{1}{3}} = 0.25$ והמנה היא $Q = 3$. S_n = \frac{b_1(Q^n - 1)}{Q - 1} = 273.25 \frac{0.25(3^n - 1)}{2} = 273.25 \implies 0.125(3^n - 1) = 273.25 3^n - 1 = 2186 \implies 3^n = 2187 \implies n = 7

מושגים: סכום סדרה הנדסית, משוואה מעריכית

חזרה לקטלוג

#57סדרות הנדסיות

סדרות הנדסיות אינסופיות ושינויי סימנים

קראו את השאלה

שאלה

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית יורדת: $a_1, a_2, a_3, a_4, \dots$ . סכום כל איברי הסדרה בלי האיבר הראשון הוא $6$ . מחליפים את הסימנים של כל האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה, ומתקבלת סדרה הנדסית חדשה: $a_1, -a_2, a_3, -a_4, \dots$ . סכום כל איברי הסדרה החדשה בלי האיבר הראשון הוא $-3$ . מהאיברים של הסדרה הנתונה בנו סדרה שלישית: $\frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \frac{1}{a_4}, \dots$ .

א. הוכח כי הסדרה השלישית היא סדרה הנדסית.

ב. נתון כי סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה השלישית הוא $273.25$ . מצא את $n$ .