נתונה הפונקציה הרציונלית: f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 4} לפניך ארבעה גרפים (1-4). קבע איזה מהם מתאר את גרף הנגזרת $f'(x)$. נמק בעזרת ניתוח התכונות של הפונקציה. גרפים לזיהוי נגזרת
הטיפ של עובד
שני שלבי אבחון מהירים: 1. ניתוח סימן: האם המונה של הנגזרת יכול להתאפס? בדקו את הדיסקרימיננטה (Δ) שלו. אם היא שלילית, הנגזרת תמיד מעל או מתחת לציר ה-x. 2. התאמת אסימפטוטות: האם ה"קירות" בגרף נמצאים במקומות הנכונים? $x = ±2$.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: הנגזרת חיובית תמיד
מונה הנגזרת הוא $2x^2 - 2x + 8$. הדיסקרימיננטה (Δ) שלו שלילית והוא "מחייך", לכן הוא תמיד חיובי. זה פוסל את גרפים 1, 2 ו-4 שכוללים חלקים שליליים.
מושגים: סימן הנגזרת, דיסקרימיננטה, אי-שוויון ריבועי
שלב 2: אסימפטוטות
הנגזרת יורשת את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה בנקודות $x = 2$ ו-$x = -2$. בגרף 3 הן ממוקמות בדיוק במרחק שווה מהמרכז.
מושגים: אסימפטוטות אנכיות, תחום הגדרה
שלב 3: נקודת מינימום
לנגזרת יש נקודת מינימום ב-$x = 0.5$, מה שמסביר למה הקיעור הנמוך ביותר בגרף 3 מוסט מעט ימינה.
