חקירת פונקציה ונגזרת · גרפים של נגזרות ונקודות קיצון

שלב 1: א. זיהוי גרף הנגזרת

גרף (2) הוא הגרף המתאים. הנימוק: לגרף הנגזרת צריכות להיות בדיוק 2 נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$ (כי נתון שיש 2 נקודות קיצון פנימיות), ורק גרף (2) מקיים זאת בתחום $x < 1.5$.

מושגים: נקודות קיצון, נגזרת, גרפים

שלב 2: ב. חיתוכים עם הצירים

חיתוך עם ציר y: נציב $x = 0$: $f(0) = (0^2 + 1) \cdot \sqrt{3 - 0} = \sqrt{3}$. חיתוך עם ציר x: פותרים $f(x) = 0$. מכיוון ש-$x^2 + 1 > 0$ תמיד, הפתרון הוא $\sqrt{3 - 2x} = 0$, כלומר $x = 1.5$. תשובה: חיתוך עם ציר y בנקודה $(0, \sqrt{3})$, חיתוך עם ציר x בנקודה $(1.5, 0)$.

מושגים: חיתוכים עם צירים, פתרון משוואות

שלב 3: ג. נקודות קיצון ותחומי מונוטוניות

(1) נקודות קיצון: • מקסימום פנימי: $(1, 2)$ • מינימום פנימי: $(0.2, 1.677)$ • נקודת קצה (מינימום): $(1.5, 0)$ (2) תחומי מונוטוניות: • עלייה: $0.2 < x < 1$ • ירידה: $x < 0.2$ או $1 < x < 1.5$

מושגים: נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה, נגזרת

שלב 4: ד. סקיצת גרף הפונקציה

מושגים: סקיצה, גרף, נקודות קיצון

שלב 5: ה. השטח בין גרף הנגזרת וציר x

השטח המבוקש שווה לאינטגרל של $f'(x)$ בין נקודות החיתוך שלו עם ציר ה-x (כלומר בין $x = 0.2$ ל-$x = 1$). S = \int_{0.2}^{1} f'(x)\,dx = f(1) - f(0.2) \approx 2 - 1.677 = 0.323 \text{ יח}^2 בצורה מדויקת: $S = 2 - \frac{26\sqrt{65}}{125}$ יח"ר

מושגים: אינטגרל, שטח, משפט היסוד של החשבון