סדרות הנדסיות · סדרה הנדסית

השאלה

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת $a_1, a_2, a_3, \dots$ שכל איבריה חיוביים ומנתה היא $q$. ידוע כי סכום כל איברי הסדרה הוא 12, וסכום שני האיברים הראשונים בסדרה הוא 9. סעיף א': מצא את האיבר הראשון $a_1$ ואת מנת הסדרה $q$. סעיף ב': מגדירים סדרה חדשה $b_n$ שאיבריה הם ריבועי האיברים של הסדרה המקורית, כלומר $b_n = (a_n)^2$. (1) הוכח כי הסדרה $b_n$ היא סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת. (2) חשב את סכום כל איברי הסדרה $b_n$. סעיף ג': מגדירים סדרה חדשה $c_n$ המקיימת את הכלל: $c_n = a_n + a_{n+1}$ לכל $n$ טבעי. (1) הוכח כי הסדרה $c_n$ היא סדרה הנדסית ומצא את מנתה. (2) הראה כי סכום כל איברי הסדרה $c_n$ ניתן להבעה על ידי הביטוי: $S_c = \frac{a_1(1+q)}{1-q}$. סעיף ד' (חשיבה): מצא את היחס בין סכום הסדרה $c_n$ לבין סכום הסדרה $a_n$. האם יחס זה תלוי בערכו של האיבר הראשון $a_1$? נמק את תשובתך.

הטיפ של עובד

שימו לב לסעיף ג'! כשמבקשים מכם להביע סכום של סדרה "מורכבת", נסו קודם כל להבין מה קרה למנה ומה קרה לאיבר הראשון. בסדרה $c_n$, האיבר הראשון הוא פשוט $a_1 + a_2$, והמנה נשארת $q$. זה הופך את כל ההוכחה להרבה יותר פשוטה.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: מציאת $a_1$ ו-$q$

נבנה שתי משוואות לפי הנתונים. סכום הסדרה הוא 12: \frac{a_1}{1-q} = 12 \implies a_1 = 12(1-q) סכום שני האיברים הראשונים הוא 9: a_1 + a_2 = 9 \implies a_1(1+q) = 9 נציב את $a_1$ מהמשוואה הראשונה בשנייה: 12(1-q)(1+q) = 9 \implies 12(1-q^2) = 9 \implies q^2 = 0.25 \implies q = 0.5 נחשב את $a_1$: a_1 = 12(1-0.5) = 6

מושגים: סדרה הנדסית, נוסחת סכום, פתרון משוואות

שלב 2: סדרת הריבועים $b_n = (a_n)^2$

(1) הוכחת הנדסית: נמצא את היחס בין שני איברים עוקבים: \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(a_{n+1})^2}{(a_n)^2} = \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} \right)^2 = q^2 = 0.25 המנה קבועה, ולכן הסדרה הנדסית. מכיוון ש-$|0.25| < 1$, היא מתכנסת. (2) חישוב הסכום: האיבר הראשון הוא $b_1 = a_1^2 = 36$. S_b = \frac{b_1}{1-q^2} = \frac{36}{1-0.25} = \frac{36}{0.75} = 48

מושגים: סדרה הנדסית, המנה, התכנסות

שלב 3: הסדרה החדשה $c_n = a_n + a_{n+1}$

(1) הוכחת הנדסית: נפשט את ביטוי האיבר הכללי: c_n = a_n + a_{n+1} = a_n(1+q) נבדוק את המנה: \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{a_{n+1}(1+q)}{a_n(1+q)} = q המנה היא $q=0.5$, ולכן $c_n$ היא סדרה הנדסית. (2) הבעת הסכום: האיבר הראשון הוא $c_1 = a_1(1+q)$. S_c = \frac{c_1}{1-q} = \frac{a_1(1+q)}{1-q}

מושגים: סדרה הנדסית, איבר כללי, סכום

שלב 4: היחס בין הסכומים

נחשב את היחס: \frac{S_c}{S_a} = \frac{\frac{a_1(1+q)}{1-q}}{\frac{a_1}{1-q}} = 1+q ניתן לראות כי $a_1$ מצטמצם לחלוטין, ולכן היחס תלוי אך ורק במנת הסדרה $q$. ערך היחס: $1 + 0.5 = 1.5$.

מושגים: יחס, צמצום, אי-תלות בפרמטר

פוקוס המורה הפרטי

ניתוח מבנה סדרות הנדסיות חדשות וזיהוי שמורים ותכונות

חזרה לקטלוג

#72סדרות הנדסיות

סדרה הנדסית

קראו את השאלה

שאלה

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת $a_1, a_2, a_3, \dots$ שכל איבריה חיוביים ומנתה היא $q$ .

ידוע כי סכום כל איברי הסדרה הוא 12, וסכום שני האיברים הראשונים בסדרה הוא 9.

סעיף א': מצא את האיבר הראשון $a_1$ ואת מנת הסדרה $q$ .

סעיף ב': מגדירים סדרה חדשה $b_n$ שאיבריה הם ריבועי האיברים של הסדרה המקורית, כלומר $b_n = (a_n)^2$ . (1) הוכח כי הסדרה $b_n$ היא סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת. (2) חשב את סכום כל איברי הסדרה $b_n$ .

סעיף ג': מגדירים סדרה חדשה $c_n$ המקיימת את הכלל: $c_n = a_n + a_{n+1}$ לכל $n$ טבעי. (1) הוכח כי הסדרה $c_n$ היא סדרה הנדסית ומצא את מנתה. (2) הראה כי סכום כל איברי הסדרה $c_n$ ניתן להבעה על ידי הביטוי: $S_c = \frac{a_1(1+q)}{1-q}$ .

סעיף ד' (חשיבה): מצא את היחס בין סכום הסדרה $c_n$ לבין סכום הסדרה $a_n$ . האם יחס זה תלוי בערכו של האיבר הראשון $a_1$ ? נמק את תשובתך.