חקירת פונקציות רציונליות · תרגיל 2: חקירה מלאה וסעיף חשיבה
השאלה
נתונה הפונקצייה: f(x) = \frac{4x^2-1}{x^2-4} חקרו את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. מצאו את: א-1. תחום ההגדרה של הפונקצייה. א-2. משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים. א-3. נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה עם הצירים. א-4. שיעורי נקודת הקיצון וקביעת סוגה. ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. ג. סעיף חשיבה: מצאו עבור אילו ערכי $k$ לישר $y = k$ אין אף נקודת חיתוך עם גרף הפונקצייה. נמקו בעזרת הגרף.
הטיפ של עובד
שימו לב ל-'שטח המת' בגרף. בדרך כלל בפונקציות רציונליות מהסוג הזה נוצר פער בין נקודת הקיצון לבין האסימפטוטה האופקית. כששואלים אתכם על ערכי $k$ ללא חיתוך, אתם פשוט צריכים לזהות את הטווח שבו הקו האופקי עובר בתוך הריק הזה. תסתכלו על ה-y של הקיצון ועל ה-y של האסימפטוטה האופקית - הפתרון נמצא בדיוק ביניהם!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: א-1: תחום ההגדרה
נחפש את הערכים שבהם המחנה מתאפס x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 תחום ההגדרה: $x \neq \pm 2$
מושגים: תחום הגדרה, פונקציה רציונלית
שלב 2: א-2: אסימפטוטות
אסימפטוטות אנכיות - בערכים שמאפסים את המחנה: x = 2 \text{ וגם } x = -2 אסימפטוטה אופקית - מחלוקת המקדמים של החזקה הגבוהה: y = \frac{4}{1} = 4
מושגים: אסימפטוטה אנכית, אסימפטוטה אופקית, פונקציה רציונלית
שלב 3: א-3: נקודות חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר y בהצבת $x = 0$: f(0) = \frac{-1}{-4} = 0.25 חיתוך עם ציר x בהשוואת המונה לאפס: 4x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 0.5 נקודות החיתוך: $(0, 0.25)$, $(0.5, 0)$, $(-0.5, 0)$
מושגים: חיתוך עם ציר, נקודות חיתוך
שלב 4: א-4: נקודות קיצון
נגזרת הפונקציה בשימוש בכלל המנה: f'(x) = \frac{-30x}{(x^2-4)^2} נקודה קריטית: $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ מטבלת נגזרות: הנגזרת חיובית משמאל ל-0 ושלילית מימין, ולכן $(0, 0.25)$ הוא מקסימום
מושגים: נגזרת, קיצון, מקסימום
שלב 5: ב: סקיצת הגרף
הגרף מורכב מ-3 ענפים: אחד לשמאל מ- $x = -2$, אחד בין $x = -2$ ל- $x = 2$ עם מקסימום ב- $(0, 0.25)$, ואחד ימינה מ- $x = 2$. הגרף מתקרב לאסימפטוטות
מושגים: סקיצת גרף, ענפי פונקציה
שלב 6: ג: סעיף חשיבה
הישר $y = k$ הוא קו אופקי. מהגרף רואים 'שטח מת' בין המקסימום ב- $y = 0.25$ לאסימפטוטה ב- $y = 4$, שבו אין חיתוכים עם הגרף בערך $k = 0.25$ הקו נוגע בנקודת המקסימום (חיתוך אחד). בערך $k = 4$ הקו הוא האסימפטוטה (אין חיתוך). לכן אין חיתוך עבור: 0.25 < k \leq 4
מושגים: ניתוח גרפי, אי-שוויון, אסימפטוטה
תשובה סופית
התשובה הסופית: 0.25 < k \leq 4
