לפניך סרטוט הגרף של פונקציה $f(x)$. מתוך חקירת הפונקציה ידוע כי: • נקודת הקיצון (מינימום) של הפונקציה משיקה לציר ה-$x$ בנקודה $(-3, 0)$ • נקודת הקיצון (מקסימום) של הפונקציה היא $(1, 256)$ • הגרף חותך את ציר ה-$y$ בנקודה $(0, 162)$ ואת ציר ה-$x$ בנקודה $(2, 0)$ נתונה הפונקציה המורכבת: $g(x) = \frac{1}{f(x-3)}$ א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$? נמק. ב. האם גרף הפונקציה $g(x)$ חותך את הצירים? אם כן, באילו נקודות? אם לא, הסבר מדוע. ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $g(x)$. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.
שימו לב למלכודת הכי גדולה בשאלות האלה! כשמבקשים מכם לחקור פונקציה הופכית מהצורה $\frac{1}{h(x)}$, הנטייה הטבעית היא לחשוב שהגרף תמיד יהיה מעל ציר ה-$x$ (כי הכל נראה חיובי בציור). אבל תסתכלו טוב על $f(x)$ המקורית: מימין ל-$x=2$ היא יורדת מתחת לציר ה-$x$, כלומר היא שלילית! זה אומר שלאחר ההזזה, מימין ל-$x=5$ פונקציית המכנה שלילית ולכן גם $g(x)$ תהיה שלילית לחלוטין. אל תפספסו את זה בסקיצה!
הביטוי $f(x-3)$ מייצג הזזה אופקית ימינה ב-3 יחידות של הפונקציה המקורית $f(x)$. לכן, נוסיף 3 לערך ה-$x$ של כל נקודות המפתח המקוריות: • נקודת האפס $(-3, 0)$ זזה לנקודה $(0, 0)$ • נקודת האפס $(2, 0)$ זזה לנקודה $(5, 0)$ • נקודת המקסימום $(1, 256)$ זזה לנקודה $(4, 256)$
מושגים: הזזה אופקית, פונקציה מורכבת, נקודות קיצון
מאחר ש-$g(x)$ היא פונקציית שבר, המכנה $f(x-3)$ חייב להיות שונה מאפס. f(x-3) \neq 0 על פי הגרף המוזז, $f(x-3)$ מתאפס בנקודות $x = 0$ וב-$x = 5$. \text{תחום הגדרה: } x \neq 0 \text{ וגם } x \neq 5
מושגים: תחום הגדרה, פונקציית שבר, אסימפטוטה אנכית
חיתוך עם ציר ה-$x$: נציב $g(x) = 0$, כלומר $\frac{1}{f(x-3)} = 0$. זה דורש $1 = 0$, וזה בלתי אפשרי. אין חיתוך עם ציר ה-$x$. חיתוך עם ציר ה-$y$: נציב $x = 0$. אך $x = 0$ אינו בתחום ההגדרה (אסימפטוטה אנכית). אין חיתוך עם ציר ה-$y$. \text{אין חיתוך עם הצירים}
מושגים: חיתוך עם צירים, מונה וממכנה, תחום הגדרה
קשר מרכזי: כאשר $f(x-3)$ עולה, $g(x) = \frac{1}{f(x-3)}$ יורדת. כאשר $f(x-3)$ יורדת, $g(x)$ עולה (הקשר הפוך). תחומי $f(x-3)$: • $x < 0$: ירידה • $0 < x < 4$: עלייה • $4 < x < 5$: ירידה • $x > 5$: ירידה (חלק שלילי) \text{תחומי עלייה של } g(x): x < 0 \text{ או } 4 < x < 5 \text{ או } x > 5 \text{תחומי ירידה של } g(x): 0 < x < 4
מושגים: עלייה וירידה, פונקציה הופכית, קשר הפוך
התנהגות הגרף: • אסימפטוטות אנכיות ב-$x = 0$ ו-$x = 5$ • נקודת מינימום מקומי ב-$x = 4$ עם ערך $\frac{1}{256}$ • משמאל $x = 0$: עולה מ-$0$ ל-$+\infty$ • בין $x = 0$ ל-$x = 4$: יורדת מ-$+\infty$ ל-$\frac{1}{256}$ • בין $x = 4$ ל-$x = 5$: עולה מ-$\frac{1}{256}$ ל-$+\infty$ • מימין $x = 5$: ענף שלילי, עולה מ-$-\infty$ לעבר $0^-$
מושגים: סקיצה של גרף, אסימפטוטה אנכית, נקודות קיצון, ענפים
הבנת הקשר בין פונקציה לפונקציית ההופכי שלה, והשפעת ההזזה על נקודות קיצון ואפסים
לפניך סרטוט הגרף של פונקציה f(x). מתוך חקירת הפונקציה ידוע כי: • נקודת הקיצון (מינימום) של הפונקציה משיקה לציר ה-x בנקודה (−3,0) • נקודת הקיצון (מקסימום) של הפונקציה היא (1,256) • הגרף חותך את ציר ה-y בנקודה (0,162) ואת ציר ה-x בנקודה (2,0)
נתונה הפונקציה המורכבת: g(x)=f(x−3)1
א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)? נמק.
ב. האם גרף הפונקציה g(x) חותך את הצירים? אם כן, באילו נקודות? אם לא, הסבר מדוע.
ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g(x).
ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
