בעיות קיצון · בעיות קיצון ופונקציות רציונליות
השאלה
נתונות הפונקציות: g(x) = \frac{3-x}{x-1} f(x) = \frac{1-x}{x-3} ענה על סעיף א בעבור כל אחת משתי הפונקציות $f(x)$ ו-$g(x)$. א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. (2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. בסרטוט שלפניך מתואר חלק מן הגרף של הפונקציה $f(x)$, חלק מן הגרף של $g(x)$, ומלבן $ABCD$ החסום ביניהם ובין ציר ה-$x$. צלע $BC$ של המלבן מונחת על ציר ה-$x$, והצלע הנגדית, $AD$, מחברת בין נקודה על הגרף של $f(x)$ ובין נקודה על הגרף של $g(x)$. נסמן ב-$t$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה $A$ (הנמצאת על הגרף של $g(x)$). סרטוט הפונקציות והמלבן החסום ב. קבע מהו תחום הערכים האפשרי של $t$. ג. (1) הבע באמצעות $t$ את אורך הצלע $AB$. (2) הוכח ששיעור ה-$x$ של הנקודה $D$ הוא $4-t$. (3) הבע באמצעות $t$ את שטח המלבן $ABCD$. ד. מצא את $t$ שבעבורו שטח המלבן $ABCD$ הוא מקסימלי (בתשובתך השאר שתי ספרות לאחר הנקודה).
הטיפ של עובד
חברים, זו אחת השאלות הכי חכמות באנליטית! שימו לב ששתי הפונקציות שלנו עברו שיקוף ונמצאות מעל ציר ה-$x$ בתוך התחום של המלבן. איך מזהים מי זו מי? הפונקציה שחותכת ב-$x=3$ היא $g(x)$ (הימנית בסרטוט שלכם), והפונקציה שחותכת ב-$x=1$ היא $f(x)$ (השמאלית). כיוון ש-$A$ נמצאת על הגרף של $g(x)$, אורך הצלע $AB$ הוא פשוט ערך ה-$y$ של הפונקציה (בלי צורך להוסיף מינוס כמו שהיה בתרגילים מתחת לציר). זה המפתח לכל הפתרון!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א - תחום הגדרה ונקודות חיתוך
עבור $g(x) = \frac{3-x}{x-1}$: תחום הגדרה: $x \neq 1$. חיתוך עם ציר $x$: $3-x=0 \Rightarrow x=3$, נקודה $(3,0)$. חיתוך עם ציר $y$: $y = \frac{3}{-1} = -3$, נקודה $(0,-3)$. עבור $f(x) = \frac{1-x}{x-3}$: תחום הגדרה: $x \neq 3$. חיתוך עם ציר $x$: $1-x=0 \Rightarrow x=1$, נקודה $(1,0)$. חיתוך עם ציר $y$: $y = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$, נקודה $(0,-\frac{1}{3})$.
מושגים: תחום הגדרה, נקודות חיתוך, פונקציות רציונליות
שלב 2: סעיף ב - תחום הערכים של t
הנקודה $A$ נמצאת על גרף $g(x)$ בין שתי נקודות חיתוך, כך שהמלבן חסום בין שתי הפונקציות בחלקן החיובי. בהתבסס על תחומי ההגדרה ותנאי הגיאומטריה: 2 < t < 3
מושגים: תחום ערכים, מלבן חסום, גיאומטריה אנליטית
שלב 3: סעיף ג(1) - אורך הצלע AB
הצלע $AB$ היא הגובה של המלבן, שווה לערך $y$ של הנקודה $A$ על גרף $g(x)$: AB = g(t) = \frac{3-t}{t-1}
מושגים: גובה המלבן, ערך פונקציה, פונקציות רציונליות
שלב 4: סעיף ג(2) - הוכחה
מכיוון שהצלע $AD$ מקבילה לציר ה-$x$, הנקודות $A$ ו-$D$ נמצאות באותו גובה. לפיכך: g(t) = f(x_D) על ידי פתרון המשוואה $\frac{3-t}{t-1} = \frac{1-x_D}{x_D-3}$, מתקבל $x_D = 4-t$.
מושגים: הוכחה, שוויון גבהים, מקבילות
שלב 5: סעיף ג(3) - שטח המלבן
רוחב המלבן: $(4-t) - t = 4-2t$. גובה המלבן: $\frac{3-t}{t-1}$. שטח המלבן: S(t) = (4-2t) \cdot \frac{3-t}{t-1} = \frac{-2t^2+10t-12}{t-1}
מושגים: שטח מלבן, פונקציה של משתנה, אלגברה
שלב 6: סעיף ד - מציאת הערך לשטח מקסימלי
על מנת למצוא את המקסימום של $S(t)$, נגזור ונשווה לאפס: $S'(t) = 0 \Rightarrow t^2 - 6t + 4 = 0$ בתחום $2 < t < 3$, הפתרון הקביל הוא: t = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41
מושגים: נגזרות, קיצון מקסימום, משוואה ריבועית
תשובה סופית
התשובה הסופית: 2.41
