טריגונומטריה · חקירת פונקציה טריגונומטרית
השאלה
נתונה הפונקציה $f(x) = 4\sin^2 x \cdot \cos^2 x$ בתחום $0 \le x \le \pi$. בתחום הנתון: א. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. ב. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבע את סוגן. ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. ד. (1) נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}\sin(4x)$. הראה כי $g'(x) = f(x)$. (2) בתחום הנתון מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$. נתונה הפונקציה $h(x) = f(x) - |f(x)|$, המוגדרת בתחום $-\pi \le x \le \pi$. נקודה A היא נקודה כלשהי הנמצאת על גרף הפונקציה $h(x)$. ה. האם שיעור ה-$y$ של נקודה A הוא חיובי, שלילי, שווה לאפס או שאי אפשר לקבוע? נמקו את תשובתכם.
הטיפ של עובד
כשאתם נתקלים בפונקציה חדשה שמוגדרת באמצעות פונקציה קודמת וערך מוחלט, אל תמהרו לגזור או לבנות טבלאות! עצרו רגע ושאלו את עצמכם - האם אני יודע מה הסימן של הפונקציה המקורית? במקרה שלנו, שימו לב שהפונקציה $f(x)$ מורכבת כולה ממכפלה של ביטויים בריבוע. מה זה אומר על הערכים שהיא יכולה לקבל, ואיך זה משפיע על הערך המוחלט שלה?
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: הכנה למזגן: מפשטים את הפונקציה
לפני שנתחיל לעבוד קשה ולגזור מכפלות מורכבות, בואו נשים לב לתבנית של הפונקציה. הביטוי $4\sin^2 x \cos^2 x$ מזכיר מאוד את הזהות של זווית כפולה $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. נסדר את הפונקציה שלנו: f(x) = (2\sin x \cos x)^2 = (\sin(2x))^2 = \sin^2(2x) מעכשיו נעבוד עם הפונקציה המפושטת $f(x) = \sin^2(2x)$.
מושגים: זהויות טריגונומטריות, זווית כפולה, פישוט
שלב 2: סעיף א': חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר ה-y ($x=0$): f(0) = \sin^2(2 \cdot 0) = \sin^2(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad (0,0) חיתוך עם ציר ה-x ($y=0$): \sin^2(2x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin(2x) = 0 2x = \pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2}k בתחום $0 \le x \le \pi$: נקודות החיתוך הן $(0,0)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, 0)$.
מושגים: חיתוך עם צירים, משוואות טריגונומטריות
שלב 3: סעיף ב': נקודות קיצון
נגזור את הפונקציה המפושטת בעזרת כלל השרשרת: f'(x) = 2\sin(2x)\cos(2x) \cdot 2 = 4\sin(2x)\cos(2x) = 2\sin(4x) נשווה לאפס: $2\sin(4x) = 0 \Rightarrow x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi$. בעזרת הנגזרת השנייה $f''(x) = 8\cos(4x)$ נקבע את סוגי הקיצון: מקסימום ב-$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ עם ערך 1, ומינימום בנקודות הקצה והאמצע עם ערך 0.
מושגים: נגזרת, קיצון, נגזרת שנייה
שלב 4: סעיף ד': הנגזרת של g(x) וחישוב שטח
חלק (1): נגזור את $g(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}\sin(4x)$: g'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} \cdot 4\cos(4x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(4x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(4x)) בעזרת הזהות $1 - \cos(4x) = 2\sin^2(2x)$: g'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2\sin^2(2x) = \sin^2(2x) = f(x) חלק (2): השטח תחת הפונקציה: S = \int_{0}^{\pi} f(x) \,dx = g(\pi) - g(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}
מושגים: נגזרת, הוכחה, אינטגרציה, משפט יסודי
שלב 5: סעיף ה': סימן שיעור ה-y של נקודה A
הפונקציה $f(x) = \sin^2(2x)$ מורכבת מביטוי בריבוע, לכן $f(x) \ge 0$ לכל $x$. כאשר ביטוי הוא אי-שלילי, הערך המוחלט שלו שווה לביטוי עצמו: $|f(x)| = f(x)$. h(x) = f(x) - |f(x)| = f(x) - f(x) = 0 הפונקציה $h(x)$ היא פונקציית האפס לכל $x$, לכן שיעור ה-$y$ של כל נקודה A עליה הוא שווה לאפס.
מושגים: ערך מוחלט, אי-שליליות, סיווג אלגברי
פוקוס המורה הפרטי
הבנת המהות של ערך מוחלט והסקת מסקנות בלוגיקה אלגברית
