משולש חד-זוויות $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$. $CF$ הוא קוטר במעגל, והמשך הרדיוס $BO$ חותך את הצלע $AC$ בנקודה $D$, כמתואר בציור. נתון: $\measuredangle ABD = \alpha$ הקשת $\widehat{BC}$ ארוכה פי 2 מהקשת $\widehat{FB}$. א. חשב את גודל הזווית $BAC$. ב. הבע באמצעות $\alpha$ את היחס בין שטח המשולש $BAD$ לשטח המשולש $BAC$. ג. נתון גם כי $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$. חשב את יחס השטחים שהבעת בסעיף ב'.
חיבור בין קשתות לזוויות: זכרו את המשפט החשוב בגיאומטריה: "יחס הקשתות שווה ליחס הזוויות המרכזיות (או ההיקפיות) הנשענות עליהן". נתון לכם שקשת אחת כפולה מהשנייה, ויחד הן משלימות לחצי מעגל (כי $CF$ הוא קוטר). השתמשו בזה כדי למצוא זוויות מספריות כבר בסעיף א'! בסעיף ב': כשמבקשים יחס שטחים של משולשים שחולקים צלע משותפת או גובה משותף, חפשו את יחס הבסיסים או יחס הניצבים. שימוש במשפט הסינוסים יכול לעזור לבטא צלעות אלו.
קוטר $CF$ מחלק את המעגל לשתי קשתות: $\widehat{FBC} = 180^\circ$. נתון: הקשת $\widehat{BC}$ ארוכה פי 2 מהקשת $\widehat{FB}$. נסמן $\widehat{FB} = x$, ולכן $\widehat{BC} = 2x$. x + 2x = 180^\circ \implies x = 60^\circ גודל קשת $\widehat{BC}$ הוא $120^\circ$. לפי משפט הזווית ההיקפית: זווית היקפית שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת. \measuredangle BAC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ
מושגים: קשת במעגל, זווית היקפית, קוטר
שני המשולשים $\triangle BAD$ ו-$\triangle BAC$ חולקים את הצלע $AB$ ואת הזווית $\measuredangle A = 60^\circ$. \frac{S_{\triangle BAD}}{S_{\triangle BAC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(60^\circ)}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(60^\circ)} = \frac{AD}{AC} באמצעות משפט הסינוסים במשולש $\triangle ABD$: $\measuredangle ABD = \alpha$, $\measuredangle BAD = 60^\circ$, ולכן $\measuredangle ADB = 120^\circ - \alpha$. AD = AB \cdot \frac{\sin\alpha}{\sin(60^\circ + \alpha)} במשולש $\triangle ABC$: הזווית $\measuredangle ABC = \alpha + 30^\circ$, ולכן $\measuredangle ACB = 90^\circ - \alpha$. AC = AB \cdot \frac{\sin(\alpha + 30^\circ)}{\cos\alpha} \frac{S_{\triangle BAD}}{S_{\triangle BAC}} = \frac{\sin\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin(\alpha+60^\circ) \cdot \sin(\alpha+30^\circ)}
מושגים: משפט הסינוסים, שטח משולש, יחס שטחים
נתון: $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$, ומצאנו ש-$\frac{AD}{AB} = \frac{\sin\alpha}{\sin(60^\circ + \alpha)}$. \frac{\sin\alpha}{\sin(60^\circ + \alpha)} = \frac{2}{3} 3\sin\alpha = 2\sin(60^\circ + \alpha) = 2\left(\frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right) 3\sin\alpha = \sin\alpha + \sqrt{3}\cos\alpha \implies \tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} החלוקה של המונה והמכנה של היחס ב-$\cos^2\alpha$ מניבה ביטוי תלוי ב-$\tan\alpha$ בלבד. \frac{S_{\triangle BAD}}{S_{\triangle BAC}} = \frac{8}{15}
מושגים: משוואה טריגונומטרית, זהויות זווית כפולה, טנגנס
משולש חד-זוויות ABC חסום במעגל שמרכזו O.
CF הוא קוטר במעגל, והמשך הרדיוס BO חותך את הצלע AC בנקודה D, כמתואר בציור.
נתון: ∡ABD=α הקשת BC ארוכה פי 2 מהקשת FB.
א. חשב את גודל הזווית BAC.
ב. הבע באמצעות α את היחס בין שטח המשולש BAD לשטח המשולש BAC.
ג. נתון גם כי ABAD=32. חשב את יחס השטחים שהבעת בסעיף ב'.
