סרטוט שאלה 5 המשולש $\triangle ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$. $D$ היא נקודה פנימית על הצלע $AC$ כך ש-$BD$ עובר דרך מרכז המעגל (ראה ציור). נתון: $\measuredangle ABD = \alpha$, $\measuredangle DBC = \beta$. א. הבע באמצעות $\alpha$ ו-$\beta$ את היחס $\frac{AD}{DC}$. ב. הראה כי לא ייתכן שהיחס $\frac{AD}{DC}$ שווה ל-$\frac{1}{2}$, אם $\alpha = \frac{1}{2}\beta$. נמק. ג. מצא את היחס $\frac{AD}{DC}$, כאשר $AC$ הוא קוטר. נמק.
המפתח כאן הוא בניית עזר חכמה. למרות ש-$D$ היא נקודה בתוך המעגל, הקטע $BD$ עובר במרכז! הטיפ: תמשיכו את $BD$ עד לצד השני של המעגל וקיבלתם קוטר (2R). בעזרת המשפט 'זווית היקפית על קוטר היא 90 מעלות', תוכלו לבטא את הצלעות $AB$ ו-$BC$ ולהשתמש בזהות של זווית כפולה. בסעיף ב', כשמגיעים למשוואה $\cos(2\alpha) = 1$, זו הוכחה של 'אין פתרון' (זווית אפס) שהיא התשובה החזקה ביותר.
נמשיך את הקטע $BD$ עד לנקודה $E$ על המעגל כך ש-$BE$ עובר דרך מרכז $O$. בעצם, $BE$ הוא קוטר של המעגל.
מושגים: בניית עזר, קוטר המעגל, מרכז המעגל
לפי משפט תאלס: כל זווית היקפית שחוסמת קוטר היא זווית ישרה. לכן $\measuredangle BAE = 90°$ ו-$\measuredangle BCE = 90°$.
מושגים: זווית היקפית על קוטר, משפט תאלס, זוויות ישרות
במשולש ישר זווית $ABD$: $AD = BD \cdot \sin(\alpha)$. במשולש ישר זווית $BCD$: $DC = BD \cdot \sin(\beta)$. לכן $\frac{AD}{DC} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$, שזה שווה ל-$\frac{\sin(2\alpha)}{\sin(2\beta)}$ לאחר שימוש בזהויות.
מושגים: יחסי סינוס, משולשים ישרי זווית, זהויות זווית כפולה
אם $\alpha = \frac{\beta}{2}$, אז $\beta = 2\alpha$. מהנוסחה בחלק א׳: $\frac{\sin(2\alpha)}{\sin(4\alpha)} = \frac{1}{2}$. בעזרת הזהות $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$, נקבל: $\frac{\sin(2\alpha)}{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)} = \frac{1}{2}$. צמצום ב-$\sin(2\alpha)$ נותן $\frac{1}{2\cos(2\alpha)} = \frac{1}{2}$, ומכאן $\cos(2\alpha) = 1$. כלומר $2\alpha = 0°$, כך $\alpha = 0°$. זה אינו ייתכן במשולש, ולכן היחס לא יכול להיות $\frac{1}{2}$.
מושגים: הוכחה בשלילה, זהויות דו-זוויתיות, אי-הגיוניות גיאומטרית
כאשר $AC$ הוא קוטר, מרכז המעגל $O$ נמצא על הקטע $AC$. מאחר ש-$BD$ עובר דרך $O$ וגם $D$ נמצאת על $AC$, היחיד הניתן הוא ש-$D = O$. כך $AD = AO$ ו-$DC = OC$. מאחר ש-$O$ היא נקודת ההשקה של הקוטר, $AO = OC = R$, ולכן $\frac{AD}{DC} = 1$.
מושגים: קוטר, מרכז המעגל, תכונות הקוטר
המשולש △ABC חסום במעגל שמרכזו O. D היא נקודה פנימית על הצלע AC כך ש-BD עובר דרך מרכז המעגל (ראה ציור). נתון: ∡ABD=α, ∡DBC=β.
א. הבע באמצעות α ו-β את היחס DCAD. ב. הראה כי לא ייתכן שהיחס DCAD שווה ל-21, אם α=21β. נמק. ג. מצא את היחס DCAD, כאשר AC הוא קוטר. נמק.
