סדרות הנדסיות · סדרה הנדסית אין-סופית

השאלה

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית מתכנסת $a_n$, שהמנה שלה היא $4q^2$ (נתון: $0 < q < \frac{1}{2}$). בין כל שני איברים בסדרה הנתונה הכניסו איבר נוסף, ונוצרה סדרה הנדסית חדשה $b_n$ שכל איבריה חיוביים. (א) הבע באמצעות $q$ את מנת הסדרה החדשה $b_n$. (ב) נתון כי סכום הסדרה החדשה $b_n$ גדול פי $48q^2$ מסכום הסדרה הנתונה $a_n$. חשב את $q$. (ג) עבור הערך של $q$ שמצאת בסעיף ב', חשב בסדרה החדשה $b_n$ את היחס בין האיבר הראשון ובין סכום כל האיברים שאחרי האיבר הראשון. מסמנים ב- $S$ את סכום הסדרה המקורית $a_n$. בונים מהסדרה המקורית סדרה אין-סופית מתכנסת חדשה $c_n$ על ידי שינוי הסימנים של האיברים במקומות הזוגיים: $c_1 = a_1, \quad c_2 = -a_2, \quad c_3 = a_3, \quad c_4 = -a_4, \dots$ מסמנים ב- $T$ את סכום הסדרה $c_n$. (ד) הוכח כי $\frac{S}{T} = 1.25$. (ה) נתון כי $T = 72.9$. מצא את האיבר הראשון $a_1$. (ו) חשב את סכום כל האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה החדשה $b_n$.

הטיפ של עובד

שימו לב לשלושה טריקים: 1) הכנסת איברים - המנה החדשה מקיימת $r^2 = q_{old}$. 2) החלפת סימנים - סדרה עם מקומות זוגיים במינוס יוצרת סדרה עם מנה $-q_{old}$. זה פותר סעיף ד' בשניות. 3) תת-סדרות מקומות זוגיים - האיבר הראשון הוא $b_2$ (לא $b_1$), והמנה היא $r^2$.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א' - מנת הסדרה החדשה

נסמן את מנת הסדרה החדשה ב-$r$. מכיוון שהכניסו איבר אחד בין כל שני איברים, ה"קפיצה" בין איברי הסדרה המקורית דורשת שתי קפיצות של מנה חדשה: r^2 = 4q^2 מכיוון שאיברי הסדרה החדשה חיוביים, ניקח את השורש החיובי: r = 2q

מושגים: סדרה הנדסית, מנת סדרה, הכנסת איברים

שלב 2: סעיף ב' - מציאת q

נכתוב את משוואת הסכומים. האיבר הראשון של שתי הסדרות הוא $a_1 = b_1$: \frac{a_1}{1 - 2q} = 48q^2 \cdot \frac{a_1}{1 - 4q^2} נצמצם את $a_1$ ונפרק את המכנה הימני: \frac{1}{1 - 2q} = \frac{48q^2}{(1 - 2q)(1 + 2q)} נצמצם את $(1-2q)$: 1 + 2q = 48q^2 48q^2 - 2q - 1 = 0 בעזרת נוסחת השורשים: q = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 192}}{96} = \frac{2 \pm 14}{96} לכן $q = \frac{1}{6}$ (הפתרון החיובי). זה נותן $q_A = \frac{1}{9}$ ו-$r = \frac{1}{3}$.

מושגים: משוואה ריבועית, סכום סדרה הנדסית

שלב 3: סעיף ג' - יחס בסדרה החדשה

סכום האיברים החל מהאיבר השני: S_{\text{after first}} = \frac{b_2}{1 - r} = \frac{b_1 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{b_1}{2} \text{היחס} = \frac{b_1}{b_1/2} = 2

מושגים: סכום סדרה הנדסית, יחסים

שלב 4: סעיף ד' - הוכחת יחס הסכומים

סכום הסדרה המקורית עם מנה $\frac{1}{9}$: S = \frac{a_1}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{9a_1}{8} סכום הסדרה עם סימנים מחליפים (מנה $-\frac{1}{9}$): T = \frac{a_1}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{9a_1}{10} \frac{S}{T} = \frac{9a_1/8}{9a_1/10} = \frac{10}{8} = 1.25 \quad \blacksquare

מושגים: סכום סדרה הנדסית, סימנים מחליפים

שלב 5: סעיף ה' - מציאת האיבר הראשון

נתון $T = 72.9$, ומנת סדרה $c_n$ היא $-\frac{1}{9}$: \frac{a_1}{1 + \frac{1}{9}} = 72.9 a_1 = 72.9 \cdot \frac{10}{9} = 81

מושגים: סכום סדרה הנדסית, מציאת אברים

שלב 6: סעיף ו' - סכום המקומות הזוגיים

בסדרה החדשה $b_1 = 81$ ו-$r = \frac{1}{3}$. המקום השני הוא: b_2 = 81 \cdot \frac{1}{3} = 27 תת-סדרה המקומות הזוגיים ($b_2, b_4, b_6, \ldots$) היא סדרה הנדסית עם איבר ראשון $27$ ומנה $r^2 = \frac{1}{9}$: S_{\text{even}} = \frac{27}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{27}{\frac{8}{9}} = \frac{243}{8} = 30.375

מושגים: תת-סדרה הנדסית, מקומות זוגיים

חזרה לקטלוג

#43סדרות הנדסיות

סדרה הנדסית אין-סופית

קראו את השאלה

שאלה

(א) הבע באמצעות $q$ את מנת הסדרה החדשה $b_n$ .

(ב) נתון כי סכום הסדרה החדשה $b_n$ גדול פי $48q^2$ מסכום הסדרה הנתונה $a_n$ . חשב את $q$ .

(ג) עבור הערך של $q$ שמצאת בסעיף ב', חשב בסדרה החדשה $b_n$ את היחס בין האיבר הראשון ובין סכום כל האיברים שאחרי האיבר הראשון.

מסמנים ב- $S$ את סכום הסדרה המקורית $a_n$ . בונים מהסדרה המקורית סדרה אין-סופית מתכנסת חדשה $c_n$ על ידי שינוי הסימנים של האיברים במקומות הזוגיים: $c_1 = a_1, \quad c_2 = -a_2, \quad c_3 = a_3, \quad c_4 = -a_4, \dots$ מסמנים ב- $T$ את סכום הסדרה $c_n$ .

(ד) הוכח כי $\frac{S}{T} = 1.25$ .

(ה) נתון כי $T = 72.9$ . מצא את האיבר הראשון $a_1$ .

(ו) חשב את סכום כל האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה החדשה $b_n$ .