נתונה הפונקציה: $f(x) = \sqrt{-x^2 + mx}$ (כאשר $m > 0$ פרמטר). הנקודות $O$ ו-$E$ הן נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-$x$. נקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון. מורידים מהנקודה $A$ אנך לציר ה-$x$ החותך אותו בנקודה $B$. א. נתון כי שטח המשולש $\triangle AOB$ המקסימלי הוא $\frac{3\sqrt{3}}{2}$. מצא את ערכו של הפרמטר $m$. ב. עבור ה-$m$ שמצאת: (1) מצא את שיעור ה-$x$ של הנקודה $A$ שעבורו השטח הוא מקסימלי. (2) המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $A$ חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $D$. הראה כי המשולש $\triangle AOD$ הוא משולש שווה שוקיים.
בסעיף א', פונקציית המטרה שלכם (שטח המשולש) תראה בערך ככה: $S(x) = \frac{x \cdot \sqrt{-x^2 + mx}}{2}$. לגזור מכפלה עם שורש זה מתכון לאסון בבגרות! הטריק הסודי: הכניסו את ה-$x$ שמחוץ לשורש לתוך השורש (הוא ייכנס בתור $x^2$), ותקבלו שורש אחד גדול. מכיוון ששורש מגיע למקסימום מתי שהביטוי שבתוכו מגיע למקסימום, אתם יכולים לגזור רק את הפולינום הפנימי ולהשוות לאפס! חסכתם נגזרת מנה, מכפלה ושורש במכה אחת.
נסמן את שיעור ה-$x$ של הנקודה $A$ ב-$x$. מכיוון שהיא על הפונקציה, שיעוריה הם: $A(x, \sqrt{-x^2+mx})$. הנקודה $B$ היא ההיטל של $A$ על ציר ה-$x$, לכן $B(x, 0)$. הנקודה $O$ היא $(0,0)$. במשולש ישר הזווית $\triangle AOB$: אורך הבסיס הוא $OB = x$. אורך הגובה הוא $AB = \sqrt{-x^2+mx}$. S(x) = \frac{x \cdot \sqrt{-x^2 + mx}}{2} נכניס את ה-$x$ לתוך השורש (הוא הופך ל-$x^2$): S(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x^2(-x^2 + mx)} = \frac{1}{2}\sqrt{-x^4 + mx^3} פונקציית השורש מגיעה למקסימום בדיוק מתי שהביטוי שבתוכה מגיע למקסימום. נגדיר פונקציית עזר פנימית: g(x) = -x^4 + mx^3
מושגים: אופטימיזציה, פונקציית מטרה, שטח משולש
נגזור את פונקציית העזר $g(x)$ ונשווה לאפס: g'(x) = -4x^3 + 3mx^2 = 0 x^2(-4x + 3m) = 0 מכיוון ש-$x > 0$ (הנקודה ברביע הראשון), הפתרון $x=0$ נפסל: x = \frac{3m}{4}
מושגים: נגזרת, נקודות קיצון
נציב $x = \frac{3m}{4}$ בפונקציית השטח המקורית ונשווה לשטח הנתון: S\left(\frac{3m}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3m}{4} \cdot \sqrt{-\left(\frac{3m}{4}\right)^2 + m\left(\frac{3m}{4}\right)} = \frac{3\sqrt{3}}{2} נפשט את השורש: \sqrt{-\frac{9m^2}{16} + \frac{12m^2}{16}} = \sqrt{\frac{3m^2}{16}} = \frac{\sqrt{3}m}{4} \frac{1}{2} \cdot \frac{3m}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}m}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \frac{3\sqrt{3}m^2}{32} = \frac{3\sqrt{3}}{2} m^2 = 16 מכיוון שנתון $m > 0$, נקבל $m = 4$.
מושגים: משוואות, פרמטרים
הצבנו את $m = 4$ בביטוי שמצאנו: x_A = \frac{3 \cdot 4}{4} = 3
מושגים: הצבה
הפונקציה היא $f(x) = \sqrt{-x^2 + 4x}$. שיעורי $A$: $y = \sqrt{-9+12} = \sqrt{3}$, כלומר $A(3, \sqrt{3})$. נגזור את $f(x)$: f'(x) = \frac{-x + 2}{\sqrt{-x^2 + 4x}} השיפוע בנקודה $A$: f'(3) = \frac{-3 + 2}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} משוואת המשיק: y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 2\sqrt{3} חיתוך עם ציר ה-$x$ ($y=0$): x = 6 אז $D(6, 0)$.
מושגים: משיק, נגזרת, משוואת ישר
קודקודי המשולש: $O(0,0)$, $A(3, \sqrt{3})$, $D(6, 0)$. נחשב את הצלעות: OA = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} AD = \sqrt{(6-3)^2 + (0-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} מכיוון ש-$OA = AD = \sqrt{12}$, המשולש $\triangle AOD$ הוא משולש שווה שוקיים. מש״ל!
מושגים: מרחק, גיאומטריה אנליטית, משולש
נתונה הפונקציה: f(x)=−x2+mx (כאשר m>0 פרמטר). הנקודות O ו-E הן נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-x.
נקודה A נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון. מורידים מהנקודה A אנך לציר ה-x החותך אותו בנקודה B.
א. נתון כי שטח המשולש △AOB המקסימלי הוא 233. מצא את ערכו של הפרמטר m.
ב. עבור ה-m שמצאת:
(1) מצא את שיעור ה-x של הנקודה A שעבורו השטח הוא מקסימלי.
(2) המשיק לגרף הפונקציה בנקודה A חותך את ציר ה-x בנקודה D. הראה כי המשולש △AOD הוא משולש שווה שוקיים.
