הסתברות · ברנולי וצבירת נקודות
השאלה
בחידון יש $5$ שאלות. ההסתברות לענות נכון על כל אחת מן השאלות היא $P$. ידוע כי ההסתברות שמתמודד בחידון יענה נכון על 4 שאלות לכל היותר היא $0.83193$. מספר הנקודות הניתן לכל שאלה זהה למספר השאלה. כלומר, מתמודד שענה נכון על שאלה 1 מקבל נקודה אחת, מתמודד שענה נכון על שאלה 2 מקבל שתי נקודות, וכן הלאה. א. מצאו את $P$. ב. מצאו את ההסתברות שמתמודד בחידון יענה נכון על 3 שאלות בדיוק. ג. מצאו את ההסתברות שמתמודד בחידון יצבור 14 נקודות לפחות. ד. מצאו את ההסתברות שמתמודד בחידון יצבור 6 נקודות בדיוק. ה. ידוע כי אחינועם ענתה נכון על 3 שאלות בדיוק. מצאו את ההסתברות שהיא צברה 6 נקודות בדיוק.
הטיפ של עובד
בשאלות שבהן יש משמעות ל"איזו" שאלה הצלחנו (כמו צבירת נקודות שונה לכל שאלה), נוסחת ברנולי כבר לא מספיקה לבדה בסעיפים המתקדמים. ברנולי סופרת כמה הצלחות היו, אבל לא אכפת לה אם זו הייתה שאלה 1 או שאלה 5. לכן, בסעיפים ג'-ה', עלינו לפרק את המקרים באופן ידני ולחשב את ההסתברות של כל קומבינציה ספציפית. שימו לב: "לכל היותר 4" זה המשלים של "בדיוק 5" – זה חוסך המון זמן בחישוב!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: מציאת P
נשתמש בעקרון המשלים. ידוע שהסתברות לענות נכון על 4 שאלות לכל היותר היא $0.83193$. $P(X \leq 4) = 0.83193$ לכן: $P(X = 5) = 1 - 0.83193 = 0.16807$ אם ההסתברות לענות נכון על כל 5 השאלות היא: $P^5 = 0.16807$ פתרון: $P = \sqrt[5]{0.16807} = 0.7$
מושגים: ברנולי, משלים, משוואה אקספוננציאלית
שלב 2: הסתברות לבדיוק 3 תשובות נכונות
נשתמש בנוסחת בינום: $P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot P^3 \cdot (1-P)^2 = 10 \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^2 = 10 \cdot 0.343 \cdot 0.09 = 0.3087$
מושגים: בינום, ברנולי
שלב 3: הסתברות לצבירת 14 נקודות לפחות
כדי לצבור 14 נקודות לפחות מתוך מקסימום 15 (1+2+3+4+5): האפשרויות: - כל 5 השאלות: 15 נקודות → $P(X=5) = (0.7)^5 = 0.16807$ - 4 מ-5 (ללא שאלה 1): 2+3+4+5 = 14 נקודות → $C(5,4) \cdot (0.7)^4 \cdot (0.3) \cdot \frac{1}{5} = 0.07203$ $P = 0.16807 + 0.07203 = 0.2401$
מושגים: צבירת נקודות, מקרים, ברנולי
שלב 4: הסתברות לצבירת 6 נקודות בדיוק
קומבינציות של שאלות שסכום המספרים שלהן הוא 6: - שאלות 1, 5: 1+5 = 6 - שאלות 2, 4: 2+4 = 6 - שאלות 1, 2, 3: 1+2+3 = 6 עבור כל קומבינציה: $P^k \cdot (1-P)^{5-k}$ כאשר $k$ הוא מספר התשובות הנכונות: $P = (0.7)^2 \cdot (0.3)^3 + (0.7)^2 \cdot (0.3)^3 + (0.7)^3 \cdot (0.3)^2$ $= 0.01323 + 0.01323 + 0.03087 = 0.05733$
מושגים: צבירת נקודות, קומבינציות, הסתברות מורכבת
שלב 5: הסתברות מותנית - 6 נקודות בתוך 3 תשובות נכונות
נתון: אחינועם ענתה נכון על בדיוק 3 שאלות. מה ההסתברות שצברה 6 נקודות? אם ענתה נכון על 3 שאלות, סכום הנקודות הוא סכום המספרים של אותן 3 שאלות. קומבינציות של 3 שאלות שנותנות סכום 6: - שאלות 1, 2, 3: 1+2+3 = 6 ✓ יש רק קומבינציה אחת מתוך $\binom{5}{3} = 10$ קומבינציות אפשריות. $P = \frac{1}{10} = 0.1$
מושגים: הסתברות מותנית, קומבינציות, סכומים
