נגזרות · חקירה של פונקציה טריגונומטרית ונגזרתה
השאלה
חקירת פונקציה טריגונומטרית ונגזרתה נתונה הפונקציה: $f(x) = \frac{\sin x - \cos 2x}{\sin x}$ בתחום $-\pi \le x \le \pi$ סעיף א: מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. סעיף ב: (1) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה). (2) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ וקבע את סוגן. (3) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. (4) מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה (אם יש כאלה). סעיף ג: שרטט סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום הנתון. נתונה הפונקציה: $g(x) = \frac{\cos x (2 - \cos 2x)}{\sin^2 x}$ בתחום $-\pi \le x \le \pi$ סעיף ד: (1) הוכח כי מתקיים: $g(x) = f'(x)$. (2) האם הפונקציה $g(x)$ זוגית? נמק. (3) שרטט סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ בתחום הנתון. סעיף ה: היעזר בסעיפים הקודמים ומצא: כמה פתרונות יש למשוואה $\cos x (2 - \cos 2x) = \sin^2 x$ בתחום הנתון? נמק. סעיף ו: הפרמטרים $a$ ו-$b$ חיוביים. נתון: $b < a < \pi$. היעזר בסעיפים הקודמים והוכח: \int_{-a}^{-b} f''(x) \, dx = - \int_{b}^{a} f''(x) \, dx
הטיפ של עובד
כשמבקשים מספר פתרונות בסוף חקירה, אל תפתחו סוגריים. תסתכלו על הגרף של $g(x)$. המשוואה שקולה ל-$g(x)=1$. מספר הפעמים שהגרף חוצה את הגובה 1 הוא בדיוק מספר הפתרונות.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א: תחום ההגדרה
תחום ההגדרה הוא: $x \neq 0, \pm\pi$
מושגים: תחום הגדרה, אפסים של פונקציה
שלב 2: סעיף ב(1): נקודות חיתוך עם הצירים
נקודות החיתוך עם הצירים: $(\frac{\pi}{6}, 0)$, $(\frac{5\pi}{6}, 0)$, $(-\frac{\pi}{2}, 0)$
מושגים: נקודות חיתוך, שורשים
שלב 3: סעיף ב(2): נקודות קיצון
מקסימום: $(\frac{\pi}{2}, 2)$. מינימום: $(-\frac{\pi}{2}, 0)$
מושגים: קיצון, נגזרת ראשונה, מקסימום ומינימום
שלב 4: סעיף ב(4): אסימפטוטות אנכיות
אסימפטוטות אנכיות: $x = 0$, $x = \pi$, $x = -\pi$
מושגים: אסימפטוטות אנכיות, התנהגות גבולית
שלב 5: סעיף ד(1): הוכחה ש-g(x) = f'(x)
חישוב הנגזרת של $f(x) = \frac{\sin x - \cos 2x}{\sin x}$ באמצעות כלל המנה ופישוט אלגברי מעיד כי $f'(x) = \frac{\cos x (2 - \cos 2x)}{\sin^2 x} = g(x)$
מושגים: נגזרת, כלל המנה, הוכחה אלגברית
שלב 6: סעיף ד(2): זוגיות של g(x)
הפונקציה $g(x)$ היא זוגית כי $g(-x) = g(x)$ לכל $x$ בתחום ההגדרה
מושגים: זוגיות פונקציה, סימטריה
שלב 7: סעיף ה: מספר פתרונות
המשוואה $\cos x (2 - \cos 2x) = \sin^2 x$ שקולה ל-$g(x)=1$. מכיוון ש-$g(x)$ יורדת מונוטונית בתחום $(0, \pi)$ מ-$\infty$ ל-$-\infty$, היא חותכת את הישר $y=1$ פעם אחת. בשל זוגיות הפונקציה, קיים פתרון אחד נוסף בתחום השלילי. סה"כ: 2 פתרונות בתחום הנתון.
מושגים: משוואות, גרפים, מונוטוניות, זוגיות
