נגזרות · חקירה מלאה וזיהוי גרף נגזרת
השאלה
נתונה הפונקצייה: f(x) = \frac{3x^2-12}{x^2-1} חקרו את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. מצאו את: (1) תחום ההגדרה של הפונקצייה (2) משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים (3) נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה עם הצירים (4) שיעורי נקודת הקיצון וקביעת סוגה ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$ ג. סעיף חשיבה - זיהוי גרפים: לפניכם 3 סקיצות אפשריות לגרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$. איזה מהם הוא הגרף הנכון? נמקו את בחירתכם.
הטיפ של עובד
בשאלות זיהוי גרפים עובדים בשיטת האלימינציה (פסילה)! תסתכלו על הפונקציה המקורית שסרטטתם בסעיף ב': בתחום השמאלי ביותר הפונקציה המקורית יורדת. לכן, הנגזרת שם חייבת להיות שלילית (מתחת לציר ה-x). חפשו אילו גרפים מצוירים מעל ציר ה-x בתחום הזה ופשוט תפסלו אותם! לרוב מספיקה בדיקה של תחום אחד או שניים כדי למצוא את המנצח.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: א-1: תחום ההגדרה
המכנה לא יכול להיות אפס: $x^2 - 1 \neq 0$. פתרון: $x \neq 1$ וגם $x \neq -1$.
מושגים: תחום הגדרה, פונקציה רציונלית
שלב 2: א-2: אסימפטוטות
אסימפטוטות אנכיות: בנקודות שמחנה מתאפס ומונה לא: $x = 1$ ו-$x = -1$. אסימפטוטה אופקית: דרגת המונה שווה לדרגת המכנה (שניהם ריבועיים), לכן $y = \frac{3}{1} = 3$.
מושגים: אסימפטוטות, פונקציה רציונלית
שלב 3: א-3: נקודות חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר y (כאשר $x=0$): $f(0) = \frac{0-12}{0-1} = \frac{-12}{-1} = 12$. נקודה: $(0, 12)$. חיתוך עם ציר x (כאשר המונה = 0): $3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. נקודות: $(2, 0)$ ו-$(-2, 0)$.
מושגים: נקודות חיתוך, צירים
שלב 4: א-4: נקודות קיצון
נגזרת בשימוש בכלל המנה: $f'(x) = \frac{6x(x^2-1) - (3x^2-12)(2x)}{(x^2-1)^2}$. לאחר פישוט המונה: $f'(x) = \frac{18x}{(x^2-1)^2}$. קיצון כאשר $f'(x) = 0$: $18x = 0 \Rightarrow x = 0$. בדיקת סוג הקיצון: בשמאל ל-0 (כגון $x=-0.5$) הנגזרת שלילית. בימין ל-0 (כגון $x=0.5$) הנגזרת חיובית. לכן בנקודה $(0, 12)$ יש מינימום.
מושגים: נגזרת, קיצון, מינימום, כלל המנה
שלב 5: ב: סרטוט גרף הפונקציה
הגרף נורד בכל תחום עד מינימום ב-$(0, 12)$. לשמאל מ-$x=-1$ הגרף יורד לכיוון האסימפטוטה $x=-1$ מלמטה. בין $-1$ ל-$1$ יש מינימום. לימין מ-$x=1$ הגרף יורד מלמעלה לכיוון $x=1$. בשני הצדדים הגרף מתקרב לאסימפטוטה האופקית $y=3$.
מושגים: סרטוט גרף, אסימפטוטות, קיצון
שלב 6: ג: זיהוי גרף הנגזרת
הנגזרת היא $f'(x) = \frac{18x}{(x^2-1)^2}$. • בתחום $x < -1$: מונה שלילי (18 כפול שלילי) → הנגזרת שלילית (מתחת לציר x) • בתחום $-1 < x < 0$: מונה שלילי → הנגזרת שלילית • בתחום $0 < x < 1$: מונה חיובי (18 כפול חיובי) → הנגזרת חיובית (מעל ציר x) • בתחום $x > 1$: מונה חיובי → הנגזרת חיובית גרף II תואם לתאור זה: שלילית משמאל ל-0 וחיובית מימין ל-0.
מושגים: נגזרת, סימן נגזרת, זיהוי גרפים, אלימינציה
תשובה סופית
התשובה הסופית: גרף II
