נתונה הפונקציה $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$ בתחום $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$. (א) הוכח כי הנגזרת היא $f'(x) = -\sin(4x)$. (ב) מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ בתחום הנתון וקבע את סוגן. (ג) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. נגדיר פונקציה חדשה: $g(x) = f(x) - 2\sin^2 x \cos^2 x$. (ד) (1) הראה כי מתקיים $g(x) = \cos^2(2x)$. (2) מצא את נקודות החיתוך בין גרף הפונקציה $f(x)$ לבין גרף הפונקציה $g(x)$ בתחום הנתון. (ה) חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f(x)$, גרף הפונקציה $g(x)$ והישרים $x=0$ ו- $x=\frac{\pi}{4}$.
חברים, פה נדרשת אלגברה של שחקנים! בסעיף ד' – אל תנסו לנחש. תשתמשו בזהות של הפרש ריבועים הפוך. זוכרים ש-$\sin^4 x + \cos^4 x - 2\sin^2 x \cos^2 x$ זה בעצם פיתוח של הריבוע $(\cos^2 x - \sin^2 x)^2$? ברגע שתראו את זה, פונקציית הקוסינוס תצא לכם בשנייה. בסעיף ה' – כשמבקשים שטח בין שתי פונקציות, הכי קל לעשות אינטגרל על ההפרש ביניהן. תראו איך כל הביטויים המורכבים מצטמצמים ונשאר לכם אינטגרל קליל של $\frac{1}{2}\sin^2(2x)$. רמז: השתמשו בזהות להורדת חזקה כדי לפתור את האינטגרל!
נגזור את הפונקציה $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$ באמצעות כלל השרשרת: f'(x) = 4\sin^3 x \cos x - 4\cos^3 x \sin x = 4\sin x \cos x (\sin^2 x - \cos^2 x) = 2 \cdot 2\sin x \cos x \cdot (-\cos 2x) = 2\sin(2x) \cdot (-\cos 2x) = -\sin(4x)
מושגים: נגזרת, כלל השרשרת, זהויות טריגונומטריות
נפתור $f'(x) = 0$: $\sin(4x) = 0 \implies x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}$ חישוב ערכים: $f(0) = 1$, $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$, $f(\frac{\pi}{2}) = 1$ בדיקת סימן הנגזרת מראה: $(0,1)$ מקס', $(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{2})$ מינ', $(\frac{\pi}{2}, 1)$ מקס'
מושגים: קיצון, נקודות קריטיות, סיווג קיצון
הגרף יורד מ-1 ל-0.5 בין $x=0$ לבין $x=\frac{\pi}{4}$, ואז עולה חזרה ל-1 בתחום המנוחה.
מושגים: גרף פונקציה, התנהגות פונקציה
g(x) = (\sin^4 x + \cos^4 x) - 2\sin^2 x \cos^2 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)^2 = \cos^2(2x) שם השתמשנו בזהות $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.
מושגים: זהויות טריגונומטריות, ריבוע הפרש
נפתור $f(x) = g(x)$: 2\sin^2 x \cos^2 x = 0 \implies \sin(2x) = 0 \implies x = 0, \frac{\pi}{2} נקודות החיתוך: $(0, 1)$ ו-$(\frac{\pi}{2}, 1)$
מושגים: חיתוך גרפים, משוואות טריגונומטריות
S = \int_{0}^{\pi/4} (f(x) - g(x)) dx = \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}\sin^2(2x) dx בעזרת זהות הורדת חזקה $\sin^2 \alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}$: S = \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi/4} (1-\cos 4x) dx = \frac{1}{4} \left[x - \frac{\sin 4x}{4}\right]_{0}^{\pi/4} = \frac{\pi}{16}
מושגים: אינטגרל מסוים, שטח בין עקומות, הורדת חזקה
שליטה בזהויות טריגונומטריות ויישום אלגברה לפישוט ביטויים מורכבים
נתונה הפונקציה f(x)=sin4x+cos4x בתחום 0≤x≤2π.
(א) הוכח כי הנגזרת היא f′(x)=−sin(4x).
(ב) מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) בתחום הנתון וקבע את סוגן.
(ג) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נגדיר פונקציה חדשה: g(x)=f(x)−2sin2xcos2x.
(ד) (1) הראה כי מתקיים g(x)=cos2(2x). (2) מצא את נקודות החיתוך בין גרף הפונקציה f(x) לבין גרף הפונקציה g(x) בתחום הנתון.
(ה) חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x), גרף הפונקציה g(x) והישרים x=0 ו- x=4π.
