נתונה הפרבולה $y = -x^2 + 2x$. דרך נקודה A שעל הפרבולה (ברביע הראשון) העבירו משיק לגרף הפונקציה. נסמן את שיעור ה-$x$ של הנקודה A ב-$t$. (א) הבע באמצעות $t$ את משוואת המשיק לפרבולה. (ב) המשיק, ציר ה-$x$, ציר ה-$y$, והישר $x=1$ יוצרים טרפז. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה A כדי ששטח הטרפז יהיה מינימלי?
כדי לא ללכת לאיבוד בבעיות קיצון עם גרפים, מחלקים את העבודה לשלבים! סעיף א' הוא מתנה – גוזרים את הפונקציה, מציבים $x=t$ כדי למצוא שיפוע, ובונים משוואת משיק רגילה לחלוטין. אל תיבהלו מזה שיש בה $t$. בסעיף ב', צריכים את השטח של הטרפז על ידי הצבת הגבהים כאשר $x=0$ וכאשר $x=1$ בהצבה מסעיף א'.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא את השיפוע של המשיק בכל נקודה. y' = -2x + 2
מושגים: נגזרת, פרבולה
נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה A, שהוא $t$, בנוסחת הנגזרת כדי למצוא את שיפוע המשיק. m = -2t + 2
מושגים: משיק, שיפוע
נמצא את שיעור ה-$y$ של הנקודה A על ידי הצבה של $x=t$ בפונקציה המקורית. y = -t^2 + 2t לכן, הנקודה A היא $(t, -t^2 + 2t)$.
מושגים: פרבולה, נקודה
נשתמש בנוסחה של ישר העובר דרך נקודה עם שיפוע ידוע: $y - y_1 = m(x - x_1)$ y - (-t^2 + 2t) = (-2t + 2)(x - t) y = (-2t + 2)x + t^2
מושגים: משיק, משוואת ישר
הטרפז נוצר בין הצירים וממשיק עם הישר $x=1$. הבסיסים המקבילים מאונכים לציר ה-$x$ בנקודות $x=0$ ו-$x=1$, כך שגובה הטרפז הוא $h=1$. בסיס ראשון (כאשר $x=0$): $y_1 = (-2t+2) \cdot 0 + t^2 = t^2$ בסיס שני (כאשר $x=1$): $y_2 = (-2t+2) \cdot 1 + t^2 = t^2 - 2t + 2$
מושגים: טרפז, שטח
שטח הטרפז: $S = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2}$ S(t) = \frac{(t^2 + t^2 - 2t + 2) \cdot 1}{2} = \frac{2t^2 - 2t + 2}{2} = t^2 - t + 1
מושגים: שטח, טרפז
נגזור את פונקציית השטח כדי למצוא את נקודות הקיצון. S'(t) = 2t - 1 נשווה לאפס: $2t - 1 = 0 \Rightarrow t = 0.5$ הנגזרת השנייה: $S''(t) = 2 > 0$, לכן זו נקודת מינימום.
מושגים: קיצון, נגזרת
נציב $t = 0.5$ בפונקציה המקורית כדי למצוא את שיעור ה-$y$. y = -(0.5)^2 + 2(0.5) = -0.25 + 1 = 0.75 לכן, שיעורי הנקודה A שממזערת את שטח הטרפז הם $(0.5, 0.75)$.
מושגים: קיצון, פרבולה
נתונה הפרבולה y=−x2+2x. דרך נקודה A שעל הפרבולה (ברביע הראשון) העבירו משיק לגרף הפונקציה. נסמן את שיעור ה-x של הנקודה A ב-t. (א) הבע באמצעות t את משוואת המשיק לפרבולה. (ב) המשיק, ציר ה-x, ציר ה-y, והישר x=1 יוצרים טרפז. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה A כדי ששטח הטרפז יהיה מינימלי?
