נתונה הפונקציה: g(x) = \frac{2}{3}(x+2)\sqrt{x-1} א. הראה כי נגזרת הפונקציה היא $g'(x) = \frac{x}{\sqrt{x-1}}$. נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-1}}$. ענה על הסעיפים הבאים: ב. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. ג. מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים (אם יש כאלה). ד. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ וקבע את סוגה. ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. ו. נגדיר את הפונקציה $h(x) = a \cdot f(x)$, כאשר $a > 1$ הוא פרמטר. השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $h(x)$, גרף הפונקציה $f(x)$, והישרים $x=2$ ו-$x=5$ הוא $13\frac{1}{3}$. מצא את ערכו של הפרמטר $a$.
ברוכים הבאים לאחד הטריקים הכי חרושים בבגרות 571! כשהבוחנים מבקשים להראות שהנגזרת של מפלצת כמו $g(x)$ היא משהו מוכר, הם מכינים לכם 'גלגל הצלה' לסעיף השטח. אינטגרל של פונקציה כמו $f(x)$ הוא מחוץ לתוכנית. גם כשיש פרמטר ושטח כלוא בין שתי פונקציות, פשוט חסרו ביניהן והוציאו גורם משותף! השטח ביניהן יהיה אינטגרל של $(a-1)f(x)$. מוציאים את $(a-1)$ החוצה, משתמשים ב-$g(x)$ כפונקציה הקדומה, משווים לשטח הנתון – והפרמטר מתגלה מיד!
נוכיח כי $g'(x) = \frac{x}{\sqrt{x-1}}$ באמצעות כלל המכפלה וכלל השרשרת: g'(x) = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt{x-1} + \frac{2}{3}(x+2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} נעשה מכנה משותף $2\sqrt{x-1}$: g'(x) = \frac{2}{3} \left[ \frac{2(x-1) + (x+2)}{2\sqrt{x-1}} \right] = \frac{2}{3} \left[ \frac{3x}{2\sqrt{x-1}} \right] = \frac{x}{\sqrt{x-1}}
מושגים: נגזרת, כלל המכפלה, כלל השרשרת
כדי שהפונקציה $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-1}}$ תהיה מוגדרת, התוכן שבתוך השורש במכנה חייב להיות גדול ממש מאפס: $x - 1 > 0$ x > 1
מושגים: תחום הגדרה, אי-שוויון, שורש
אסימפטוטה אנכית: כאשר המכנה שואף לאפס והמונה לא, יש אסימפטוטה אנכית ב-$x = 1$. אסימפטוטה אופקית: כשיוציאו גורם משותף מהמכנה, מעלת המונה תהיה גבוהה יותר, לכן אין אסימפטוטה אופקית.
מושגים: אסימפטוטות, גבול, התנהגות אסימפטוטית
כדי למצוא נקודת קיצון, נשתמש בעובדה שידוע כי $f(x) = g'(x)$. חישוב $f'(x) = g''(x)$ מראה כי $f'(x) = 0$ כאשר $x = 2$. f(2) = \frac{2}{\sqrt{2-1}} = \frac{2}{1} = 2 בדיקת הנגזרת השנייה או ניתוח התנהגות מראה כי זוהי נקודת מינימום: $(2, 2)$
מושגים: קיצון, נגזרת, מינימום, נקודה קריטית
הגרף של $f(x)$ בעל המאפיינים הבאים: אסימפטוטה אנכית ב-$x = 1$, מינימום בנקודה $(2, 2)$, עולה משני צדדי הנקודה.
מושגים: גרף פונקציה, תכונות פונקציה, ויזואליזציה
מכיוון ש-$a > 1$ והפונקציה חיובית בתחום, גרף $h(x) = a \cdot f(x)$ נמצא מעל גרף $f(x)$. השטח הכלוא בינהן: S = \int_{2}^{5} [a \cdot f(x) - f(x)] dx = \int_{2}^{5} (a-1)f(x) dx = (a-1) \int_{2}^{5} f(x) dx מכיוון ש-$f(x) = g'(x)$, פונקציה קדומה של $f(x)$ היא $g(x)$, ולכן: S = (a-1) \Big[ g(x) \Big]_{2}^{5} = (a-1) \Big[ \frac{2}{3}(x+2)\sqrt{x-1} \Big]_{2}^{5} חישוב הערכים בגבולות: g(5) = \frac{2}{3}(7)\sqrt{4} = \frac{2}{3} \cdot 7 \cdot 2 = \frac{28}{3} g(2) = \frac{2}{3}(4)\sqrt{1} = \frac{8}{3} S = (a-1) \left( \frac{28}{3} - \frac{8}{3} \right) = (a-1) \cdot \frac{20}{3} השטח הנתון: $S = 13\frac{1}{3} = \frac{40}{3}$ (a-1) \cdot \frac{20}{3} = \frac{40}{3} a - 1 = 2 a = 3
מושגים: אינטגרל, שטח בין עקומות, פונקציה קדומה, פרמטר
הכרת הקשר בין נגזרת ופונקציה קדומה בחישוב שטחים, יישום כלל המכפלה וכלל השרשרת
נתונה הפונקציה:
א. הראה כי נגזרת הפונקציה היא g′(x)=x−1x. נתונה הפונקציה f(x)=x−1x. ענה על הסעיפים הבאים: ב. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). ג. מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים (אם יש כאלה). ד. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) וקבע את סוגה. ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x). ו. נגדיר את הפונקציה h(x)=a⋅f(x), כאשר a>1 הוא פרמטר. השטח הכלוא בין גרף הפונקציה h(x), גרף הפונקציה f(x), והישרים x=2 ו-x=5 הוא 1331. מצא את ערכו של הפרמטר a.
