חקירת פונקציות · חקירת פונקציה מורכבת

שלב 1: תחום הגדרה

הפונקציה $g(x) = \frac{1}{|f(x)+3|}$ מוגדרת כאשר $f(x) + 3 \neq 0$, כלומר $f(x) \neq -3$. מהנתונים, $f(x) = -3$ בנקודת המינימום $x = -2$ וגם בנקודות שבהן $f(x)$ שואף לאסימפטוטה האנכית.

מושגים: תחום הגדרה, מכנה, פונקציה מורכבת

שלב 2: אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית: $x = -2$ (כאשר $f(x) + 3 = 0$). אסימפטוטות אופקיות: כאשר $x \to -\infty$, $f(x) \to 3$, לכן $g(x) \to \frac{1}{|6|} = 1$. כאשר $x \to +\infty$, $f(x) \to -2$, לכן $g(x) \to \frac{1}{|1|} = \frac{1}{6}$.

מושגים: אסימפטוטות אנכיות, אסימפטוטות אופקיות, גבולות

שלב 3: אי-רציפות

חורים בנקודות $(1, 0)$ ו-$(4, 0)$: בנקודות אלה $f(x) \neq -3$ אך הן נמצאות בקרבת אסימפטוטות אנכיות של $f(x)$. אסימפטוטה: $x = -2$ (נקודה שבה המכנה מתאפס).

מושגים: אי-רציפות, חורים, אסימפטוטות אנכיות

שלב 4: נקודות קיצון

בנקודה $x = 2$: $f(2) = -5$, לכן $g(2) = \frac{1}{|-5+3|} = \frac{1}{2} = 0.5$. זוהי נקודת מקסימום מקומי בקואורדינטות $(2, 0.5)$.

מושגים: קיצון מקומי, מקסימום, ערך פונקציה

שלב 5: סקיצה של גרף

מושגים: סקיצה של גרף, אסימפטוטות, קיצון