הסתברות · ברנולי מורכב

השאלה

בחברת הייטק גדולה, לחלק מן העובדים יש רכב חשמלי, ולשאר אין. אם בוחרים באקראי 9 עובדים מן החברה, ההסתברות שבדיוק ל-4 מהם יש רכב חשמלי גדולה פי 24 מן ההסתברות שבדיוק ל-6 מהם יש רכב חשמלי. א. מהי ההסתברות שעובד שנבחר באקראי הוא בעל רכב חשמלי? ב. בוחרים באקראי 6 עובדים מן החברה. ידוע שלפחות ל-3 מהם יש רכב חשמלי. מהי ההסתברות שבדיוק ל-4 מהם יש רכב חשמלי? ג. בוחרים באקראי עובדים מן החברה, בזה אחר זה, עד שלבדיוק 3 מהם יש רכב חשמלי. מהי ההסתברות שייבחרו בדרך זו בדיוק 6 עובדים?

הטיפ של עובד

חברים, שימו לב למלכודת בסעיף ג'. המילים 'עד ש...' משנות את כל חוקי המשחק! זה לא סתם ברנולי של 3 מתוך 6. ההסתברות שאתם מחפשים היא רצף כרונולוגי: כדי שהחיפוש ייעצר בדיוק בעובד השישי, אנחנו חייבים שבחמשת העובדים הראשונים יהיו בדיוק שניים עם רכב חשמלי, ושהעובד השישי יהיה בוודאות בעל רכב חשמלי. אל תשכחו לכפול בסוף ב-$p$!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א: מציאת הסתברות יסודית

מהנתון שההסתברות של 4 מתוך 9 גדולה פי 24 מהסתברות של 6 מתוך 9, נבנה משוואה בינומית: $\binom{9}{4}p^4(1-p)^5 = 24 \cdot \binom{9}{6}p^6(1-p)^3$. לאחר פישוט והסרה של גורמים משותפים, נפתור עבור $p$. מפישוט המשוואה מתקבל: $\frac{(1-p)^2}{p^2} = 24 \cdot \frac{\binom{9}{6}}{\binom{9}{4}}$. תוצאה: $p = 0.2 = \frac{1}{5}$.

מושגים: בינום, משוואה אקספוננציאלית, הסתברות

שלב 2: סעיף ב: הסתברות מותנית

יש לחשב: $P(X=4 | X \geq 3)$ כאשר $X \sim \text{Binomial}(6, 0.2)$. מחשבים: $P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$. ואז: $P(X=4|X \geq 3) = \frac{P(X=4)}{P(X \geq 3)} = \frac{16}{103}$.

מושגים: הסתברות מותנית, בינום, חישוב דיוק

שלב 3: סעיף ג: ברנולי שלילי - תנאי העצירה

המילה 'עד' משמעותה: דורשים שהניסיון ה-6 יהיה בדיוק ההצלחה השלישית. כלומר: בחמשת הניסיונות הראשונים בדיוק 2 הצלחות, והניסיון השישי חייב להיות הצלחה. P = \binom{5}{2}p^2(1-p)^3 \cdot p = \binom{5}{2}(0.2)^3(0.8)^3 P = 10 \cdot 0.008 \cdot 0.512 = 0.04096 = \frac{128}{3125}

מושגים: ברנולי שלילי, סדר כרונולוגי, תנאי עצירה

חזרה לקטלוג

#44הסתברות

ברנולי מורכב

קראו את השאלה

שאלה

א. מהי ההסתברות שעובד שנבחר באקראי הוא בעל רכב חשמלי?

ב. בוחרים באקראי 6 עובדים מן החברה. ידוע שלפחות ל-3 מהם יש רכב חשמלי. מהי ההסתברות שבדיוק ל-4 מהם יש רכב חשמלי?

ג. בוחרים באקראי עובדים מן החברה, בזה אחר זה, עד שלבדיוק 3 מהם יש רכב חשמלי. מהי ההסתברות שייבחרו בדרך זו בדיוק 6 עובדים?