הסתברות · הסתברות מותנית והתפלגות בינומית
השאלה
חברת הייטק גדולה בוחנת את נתוני המועמדים שהגיעו ליום מיונים מרוכז עבור שני מסלולי פיתוח: פיתוח תוכנה ופיתוח חומרה. כל מועמד רשאי להגיש מועמדות למסלול אחד בלבד. נתון כי מספר המועמדים שהגישו מועמדות למסלול התוכנה גדול פי $2\frac{1}{3}$ ממספר המועמדים שהגישו מועמדות למסלול החומרה. מבין כל המועמדים שעברו את יום המיונים בהצלחה, $\frac{9}{13}$ היו מועמדים למסלול התוכנה. $45\%$ מכלל המועמדים שהגיעו ליום המיונים הגישו מועמדות למסלול התוכנה וגם עברו את המיונים בהצלחה. א) מהו אחוז המועמדים מכלל הנבחנים שעברו את יום המיונים בהצלחה? בוחרים באקראי 6 מועמדים שהגיעו ליום המיונים. ב(1) מה ההסתברות שלכל היותר 5 מהם הגישו מועמדות למסלול התוכנה? ב(2) ידוע שלא כל 6 המועמדים הגישו מועמדות למסלול התוכנה. מה ההסתברות שלפחות 4 מהם הגישו מועמדות למסלול התוכנה? ג) מה ההסתברות שמבין 6 המועמדים 3 בדיוק הגישו מועמדות לתוכנה, והמועמד הראשון ברשימה הגיש מועמדות לחומרה?
הטיפ של עובד
אל תיבהלו מהשינוי בסיפור! המתמטיקה נשארת אותה מתמטיקה. "מסלול תוכנה" הוא המאורע $A$ ו"עבר בהצלחה" הוא המאורע $B$. שימו לב לנתון של ה-$\frac{9}{13}$ - זו הסתברות מותנית קלאסית: ההסתברות להיות בתוכנה בתנאי שעברת את המיונים.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: הגדרת משתנים וארגון הנתונים
נגדיר את המאורעות: $S$ - מועמד למסלול תוכנה, $H$ - מועמד למסלול חומרה, $A$ - מועמד שעבר בהצלחה. נתון כי מספר המועמדים לתוכנה גדול פי $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ ממספר המועמדים לחומרה: P(S) = \frac{7}{3} P(H) P(S) + P(H) = 1 \Rightarrow \frac{7}{3}P(H) + P(H) = 1 \Rightarrow \frac{10}{3}P(H) = 1 P(H) = 0.3, \quad P(S) = 0.7
מושגים: התפלגות הסתברות, סכום הסתברויות
שלב 2: סעיף א': מציאת אחוז המועמדים שעברו בהצלחה
נתון: $45\%$ מהמועמדים הגישו לתוכנה וגם עברו בהצלחה, לכן $P(S \cap A) = 0.45$. נתון נוסף: מבין אלו שעברו בהצלחה ($A$), ההסתברות שהם ממסלול התוכנה היא $\frac{9}{13}$. זו הסתברות מותנית: P(S|A) = \frac{P(S \cap A)}{P(A)} = \frac{9}{13} \frac{0.45}{P(A)} = \frac{9}{13} \Rightarrow P(A) = \frac{0.45 \cdot 13}{9} = \frac{5.85}{9} = 0.65 תשובה: 65% מהמועמדים עברו את יום המיונים בהצלחה.
מושגים: הסתברות מותנית, נוסחת בייס, חישוב הסתברויות
שלב 3: סעיף ב(1): לכל היותר 5 מהם הגישו למסלול תוכנה
בוחרים 6 מועמדים. ההסתברות שמועמד בחר בתוכנה היא $p = 0.7$. משתנה $X$ מספר המועמדים שבחרו בתוכנה מתפלג בינומית $X \sim B(6, 0.7)$. נחפש $P(X \le 5)$. נשתמש במאורע המשלים: P(X \le 5) = 1 - P(X = 6) = 1 - 0.7^6 = 1 - 0.117649 \approx 0.8823
מושגים: התפלגות בינומית, מאורע משלים
שלב 4: סעיף ב(2): הסתברות מותנית - לפחות 4 בתנאי שלא כל ה-6
נתון: לא כל ה-6 בחרו בתוכנה, כלומר $X < 6$. נחפש $P(X \ge 4 | X < 6)$: P(X \ge 4 | X < 6) = \frac{P(4 \le X < 6)}{P(X < 6)} = \frac{P(X=4) + P(X=5)}{1 - P(X=6)} P(X=4) = \binom{6}{4} (0.7)^4 (0.3)^2 = 15 \cdot 0.2401 \cdot 0.09 \approx 0.3241 P(X=5) = \binom{6}{5} (0.7)^5 (0.3)^1 = 6 \cdot 0.16807 \cdot 0.3 \approx 0.3025 P(X \ge 4 | X < 6) = \frac{0.3241 + 0.3025}{0.8823} \approx 0.7102
מושגים: הסתברות מותנית, התפלגות בינומית, נוסחת בייס
שלב 5: סעיף ג': בדיוק 3 לתוכנה והראשון לחומרה
דרישה: המועמד הראשון ברשימה בחר בחומרה (הסתברות 0.3), ומבין 5 המועמדים הנותרים בדיוק 3 בחרו בתוכנה. P = P(H) \cdot P(\text{exactly 3 out of 5 chose S}) P = 0.3 \cdot \binom{5}{3} (0.7)^3 (0.3)^2 P = 0.3 \cdot [10 \cdot 0.343 \cdot 0.09] = 0.3 \cdot 0.3087 \approx 0.0926
מושגים: התפלגות בינומית, כלל הכפל, סדר משנה
פוקוס המורה הפרטי
זהה את ההסתברויות המותנות בבעיה וחשב כראוי את P(A) באמצעות נוסחת בייס
