חקירת פונקציות · אסימפטוטות ופונקציות רציונליות
השאלה
נתונה הפונקצייה: f(x) = \frac{(x-3)^2}{(x-3)^4} + 2 חקרו את הפונקציה וענו על הסעיפים הבאים: א. ענו על תת-הסעיפים הבאים: (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה. (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים. האם בנקודה שבה המכנה מתאפס יש "חור" או אסימפטוטה? נמקו. (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה. ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. ג. סעיף חשיבה: נתונה פונקציה חדשה: $h(x) = \frac{(x-3)^2 - a}{(x-3)^4} + 2$, כאשר $a > 0$ הוא פרמטר חיובי. הסבירו מדוע לכל $x$ בתחום ההגדרה מתקיים: $f(x) > h(x)$.
הטיפ של עובד
שימו לב למלכודת בסעיף א': המספר 3 מאפס גם מונה וגם מכנה, אבל אחרי צמצום אנחנו נשארים עם $\frac{1}{(x-3)^2}$. המכנה עדיין מתאפס, ולכן זו אסימפטוטה ולא חור. ובסעיף ג' פשוט תחסרו ביניהן: $f(x) - h(x) = \frac{a}{(x-3)^4}$. מכיוון ש-$a$ חיובי וכל מספר בחזקה רביעית הוא חיובי, ההפרש תמיד חיובי.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א-1: תחום ההגדרה
המכנה $(x-3)^4$ מתאפס כאשר $x = 3$. הפונקציה מוגדרת לכל $x$ שונה מ-3.
מושגים: תחום הגדרה, פונקציה רציונלית
שלב 2: סעיף א-2: אסימפטוטות
צמצום הפונקציה: $f(x) = \frac{(x-3)^2}{(x-3)^4} + 2 = \frac{1}{(x-3)^2} + 2$ גם לאחר צמצום, המכנה מתאפס כאשר $x = 3$, ולכן זוהי אסימפטוטה אנכית ולא חור. כאשר $x \to \pm\infty$, $\frac{1}{(x-3)^2} \to 0$, ולכן $y = 2$ היא אסימפטוטה אופקית.
מושגים: אסימפטוטות אנכיות, אסימפטוטות אופקיות, צמצום
שלב 3: סעיף א-3: תחומי עלייה וירידה
הנגזרת: $f'(x) = -\frac{2}{(x-3)^3}$ עבור $x < 3$: $(x-3)^3 < 0$, ולכן $f'(x) > 0$ – עלייה עבור $x > 3$: $(x-3)^3 > 0$, ולכן $f'(x) < 0$ – ירידה
מושגים: נגזרת, עלייה וירידה
שלב 4: סעיף ב: סקיצת הגרף
הפונקציה עולה בתחום $(-\infty, 3)$ ויורדת בתחום $(3, \infty)$. הגרף מתקרב לאסימפטוטה האופקית $y = 2$ משני הצדדים ואסימפטוטה אנכית בנקודה $x = 3$.
מושגים: סקיצת גרף, התנהגות פונקציה
שלב 5: סעיף ג: השוואת פונקציות
חישוב ההפרש: $f(x) - h(x) = \frac{(x-3)^2}{(x-3)^4} - \frac{(x-3)^2 - a}{(x-3)^4} = \frac{a}{(x-3)^4}$ מכיוון ש-$a > 0$ ו-$(x-3)^4 > 0$ לכל $x \neq 3$, מתקיים $f(x) - h(x) > 0$, ולכן $f(x) > h(x)$ לכל $x$ בתחום ההגדרה.
מושגים: השוואת פונקציות, הוכחה אלגברית
