הסתברות · שאלה 3-הסתברות
השאלה
במפעל הייטק גדול, $p$ מן העובדים הם מהנדסי תוכנה, והשאר הם אנשי שיווק. הנהלת המפעל ערכה מבחן התאמה מקצועי לכל העובדים. ידוע כי $80\%$ מבין מהנדסי התוכנה עברו את המבחן בהצלחה. מבין העובדים שנכשלו במבחן, $\frac{1}{3}$ הם מהנדסי תוכנה. **סעיף א'** 1. הוכח כי ההסתברות לבחור באקראי עובד שהוא איש שיווק ונכשל במבחן היא $0.4p$. 2. מצא את תחום הערכים האפשרי עבור $p$. ידוע כי ההסתברות לבחור באקראי עובד שעבר את המבחן מבין כלל עובדי המפעל היא $0.65$. **סעיף ב'** חשב את ערכו של $p$. **נתוני הצוותים (עבור עובדים שעברו את המבחן):** צוות א': 15 מהנדסי תוכנה, 10 אנשי שיווק צוות ב': 12 מהנדסי תוכנה, 18 אנשי שיווק **סעיף ג'** בוחרים באקראי, בזה אחר זה וללא החזרה, 3 עובדים מתוך צוות א'. מהי ההסתברות שנבחרו לפחות 2 מהנדסי תוכנה? **סעיף ד'** בוחרים באקראי 5 עובדים מתוך צוות ב' (עם החזרה). ידוע כי לכל היותר ל-4 מהם יש תואר מהנדס תוכנה. מהי ההסתברות שלבדיוק 2 מהם יש תואר מהנדס תוכנה?
הטיפ של עובד
חברים, שימו לב לנתון ה-$\frac{1}{3}$. זו מלכודת קלאסית! זה לא "הסתברות לחיתוך" (מהנדס וגם נכשל), אלא **הסתברות מותנית**: "מבין העובדים שנכשלו". תמיד כשכתוב "מבין ה...", זה המכנה שלכם בבניית המשוואה.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: הוכחת ההסתברות ומציאת תחום הערכים
נסמן: $A$ - מהנדס תוכנה, $\bar{A}$ - איש שיווק, $B$ - עבר את המבחן, $\bar{B}$ - נכשל. נתון $P(A) = p$, לכן $P(\bar{A}) = 1-p$. נתון $P(B|A) = 0.8$, לכן $P(\bar{B} \cap A) = p \cdot 0.2 = 0.2p$. נתון $P(A|\bar{B}) = \frac{1}{3}$. לפי נוסחת הסתברות מותנית: \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{1}{3} \implies \frac{0.2p}{P(\bar{B})} = \frac{1}{3} \implies P(\bar{B}) = 0.6p ההסתברות לאיש שיווק שנכשל היא החיתוך $P(\bar{A} \cap \bar{B})$: P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{B}) - P(A \cap \bar{B}) = 0.6p - 0.2p = 0.4p תחום הערכים: ההסתברות המשותפת לא יכולה לעלות על ההסתברות הכוללת של אנשי שיווק: 0.4p \le 1-p \implies 1.4p \le 1 \implies p \le \frac{5}{7} מכיוון ש-$p$ מייצג הסתברות קיימת, התחום הוא $0 < p \le \frac{5}{7}$.
מושגים: הסתברות מותנית, חוק בייס, הסתברות משותפת
שלב 2: מציאת ערכו של $p$
נתון $P(B) = 0.65$, לכן $P(\bar{B}) = 1 - 0.65 = 0.35$. מצאנו קודם כי $P(\bar{B}) = 0.6p$, נשווה: 0.6p = 0.35 \implies p = \frac{0.35}{0.6} = \frac{7}{12} \approx 0.583
מושגים: משוואות הסתברות, פתרון למשתנה
שלב 3: בחירה ללא החזרה (צוות א')
בצוות א': 15 מהנדסים ו-10 אנשי שיווק (סך הכל 25). בוחרים 3 ללא החזרה. נשתמש בקומבינטוריקה למציאת "לפחות 2 מהנדסים" (בדיוק 2 או בדיוק 3): P(\text{לפחות 2}) = \frac{\binom{15}{2}\binom{10}{1}}{\binom{25}{3}} + \frac{\binom{15}{3}\binom{10}{0}}{\binom{25}{3}} = \frac{105 \cdot 10}{2300} + \frac{455}{2300} = \frac{1050 + 455}{2300} = \frac{1505}{2300} = \frac{301}{460} \approx 0.654
מושגים: קומבינטוריקה, דגימה ללא החזרה, בינום ניוטון
שלב 4: ברנולי מותנה (צוות ב')
בצוות ב': 12 מהנדסים מתוך 30. הסתברות למהנדס בבחירה בודדת: $p = \frac{12}{30} = 0.4$. נתון: לכל היותר 4 מהנדסים מתוך 5. נחשב מאורע משלים (בדיוק 5 מהנדסים): P(\text{לכל היותר 4}) = 1 - P(\text{בדיוק 5}) = 1 - 0.4^5 = 1 - 0.01024 = 0.98976 נחשב בדיוק 2 מהנדסים (התפלגות בינומית): P(\text{בדיוק 2}) = \binom{5}{2} \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^3 = 10 \cdot 0.16 \cdot 0.216 = 0.3456 ההסתברות המותנית: P(\text{בדיוק 2} \mid \text{לכל היותר 4}) = \frac{0.3456}{0.98976} \approx 0.349
מושגים: התפלגות בינומית, הסתברות מותנית, דגימה עם החזרה
פוקוס המורה הפרטי
זהוי הסתברויות מותניות, חישוב הסתברויות משותפות, קומבינטוריקה, התפלגות בינומית
