במשולש ישר זווית $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$), הקטע $AN$ הוא חוצה הזווית $\angle A$. נתון: $TN \parallel AC$, $NF \perp AB$. סרטוט משולש ישר זווית עם חוצה זווית א. (1) הוכח: $AT = TN$. (2) הוכח: $NF = NC$. ב. נתון: $TB = 5x$, וכן יחס השטחים $\frac{S_{\triangle BTN}}{S_{\triangle ATN}} = \frac{5}{4}$. בטא את $CB$ באמצעות $x$. ג. נתון: שטח המשולש $S_{\triangle ABC} = 1944$ סמ"ר. חשב את אורך הקטעים $AC$ ו-$FN$. ד. (1) חשב את אורך הקטע $TF$. (2) חשב את שטח המרובע $CTFN$.
כשאתם רואים יחס שטחים בין משולשים שחולקים קודקוד ובסיס על אותו ישר (כמו $\triangle BTN$ ו-$\triangle ATN$), אל תסתבכו עם נוסחאות שטח מורכבות. יחס השטחים הוא פשוט יחס הבסיסים! זה חוסך זמן יקר. בנוסף, תמיד תזכרו שחוצה זווית הוא המגן של המרחקים – כל נקודה עליו נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית.
$AN$ הוא חוצה הזווית $\angle A$, ולכן $\angle CAN = \angle BAN$. מכיוון ש-$TN \parallel AC$, הזוויות $\angle TNA$ ו-$\angle CAN$ הן זוויות מתחלפות, ולכן $\angle TNA = \angle CAN$. מכאן ש-$\angle TNA = \angle TAN$, מה שאומר שמשולש $\triangle ATN$ הוא שווה שוקיים עם $AT = TN$.
מושגים: חוצה זווית, קווים מקבילים, זוויות מתחלפות
כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית. מכיוון ש-$N$ על חוצה הזווית $AN$, המרחק מ-$N$ ל-$AC$ (שהוא $NC$) שווה למרחק מ-$N$ ל-$AB$ (שהוא $NF$ כיוון ש-$NF \perp AB$). לכן $NF = NC$.
מושגים: חוצה זווית, מרחק נקודה מישר, תכונות גיאומטריות
משולשים $\triangle BTN$ ו-$\triangle ATN$ חולקים אותו גובה מ-$N$. לכן יחס השטחים שלהם שווה ליחס הבסיסים: $\frac{S_{\triangle BTN}}{S_{\triangle ATN}} = \frac{TB}{AT} = \frac{5}{4}$. נתון: $TB = 5x$, ולכן $AT = 4x$. וב-$CB = 5.4x$ מהקשרים גיאומטריים בבעיה.
מושגים: יחס שטחים, משולשים דומים, יחסים
שטח המשולש $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB = 1944$. בעזרת הקשרים שנמצאו וחישובי דמיון בין משולשים, פותרים ומקבלים $AC = 72$ ס"מ. מדמיון המשולשים נקבל $FN = 24$ ס"מ.
מושגים: שטח משולש, משולשים דומים, חישוב
בעזרת משפט פיתגורס ויחסים גיאומטריים בבעיה, מחשבים $TF = 32$ ס"מ. שטח המרובע $CTFN$ מחושב על ידי חלוקה למשולשים או בעזרת נוסחת שטח מרובע, המוביל לתוצאה $S_{CTFN} = 864$ סמ"ר.
מושגים: משפט פיתגורס, שטח מרובע, חישוב שטח
במשולש ישר זווית △ABC (∠C=90∘), הקטע AN הוא חוצה הזווית ∠A. נתון: TN∥AC, NF⊥AB.
א. (1) הוכח: AT=TN. (2) הוכח: NF=NC. ב. נתון: TB=5x, וכן יחס השטחים S△ATNS△BTN=45. בטא את CB באמצעות x. ג. נתון: שטח המשולש S△ABC=1944 סמ"ר. חשב את אורך הקטעים AC ו-FN. ד. (1) חשב את אורך הקטע TF. (2) חשב את שטח המרובע CTFN.
