נגזרות · חקירה מלאה וניתוח גרף הנגזרת
השאלה
נתונה הפונקצייה: f(x) = \frac{x^2-6x+5}{x^2} חקרו את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים: א. מצאו את: (1) תחום ההגדרה של הפונקצייה. (2) משוואות האסימפטוטות של הפונקצייה המאונכות לצירים. (3) נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה עם הצירים. (4) שיעורי נקודת הקיצון וקביעת סוגה. ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$. ג. סעיף חשיבה: בהסתמך על חקירת הפונקציה $f(x)$, מצאו את התחום שבו פונקציית הנגזרת $f'(x)$ היא שלילית. נמקו.
הטיפ של עובד
סעיף ג' בודק אם אתם מבינים את הקשר העמוק בין הפונקציה לנגזרת. אתם לא צריכים לחקור את $f'(x)$ בעצמכם! זכרו: נגזרת שלילית פירושה שהפונקציה בירידה. תסתכלו על הטבלה או על הסקיצה שבניתם – כל איקס שבו הגרף של $f(x)$ 'גולש' למטה, הוא חלק מהתשובה.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: א-1: תחום ההגדרה
המחנה הוא $x^2$, שמתאפס כאשר $x = 0$. תחום ההגדרה: $x \neq 0$
מושגים: תחום הגדרה, שבר אלגברי
שלב 2: א-2: אסימפטוטות
אסימפטוטה אנכית: המחנה מתאפס ב-$x = 0$ אך המונה = $5 \neq 0$. אסימפטוטה אנכית: $x = 0$ אסימפטוטה אופקית: חזקות שוות (2=2), יחס מקדמים = $\frac{1}{1} = 1$ אסימפטוטה אופקית: $y = 1$
מושגים: אסימפטוטה אנכית, אסימפטוטה אופקית
שלב 3: א-3: חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר $y$: $x = 0$ לא בתחום ההגדרה → אין חיתוך. חיתוך עם ציר $x$: המונה = 0 x^2 - 6x + 5 = 0 $(x - 1)(x - 5) = 0$ → $x = 1$ או $x = 5$ נקודות החיתוך: $(1, 0)$ ו-$(5, 0)$
מושגים: חיתוך עם צירים, נקודות אפס
שלב 4: א-4: נקודות קיצון
גזירה בכלל המנה: f'(x) = \frac{(2x-6)x^2 - (x^2-6x+5) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-6x^2 + 10x}{x^4} = \frac{x(-6x+10)}{x^4} פישוט: $f'(x) = \frac{-6x + 10}{x^3}$ השוואה למונה = 0: $-6x + 10 = 0$ → $x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$ ערך הפונקציה: $f(1\frac{2}{3}) = -0.8$ טבלת סימנים מראה שזו נקודת מינימום.
מושגים: נגזרת, קיצון, כלל המנה
שלב 5: ב: סקיצה של הגרף
הגרף מחולק ל-2 ענפים על ידי $x = 0$: • בענף ימין ($x > 0$): יורד מ-$+\infty$ למינימום $(1\frac{2}{3}, -0.8)$, ואז עולה דרך $(1, 0)$ ו-$(5, 0)$ אל האסימפטוטה $y = 1$. • בענף שמאל ($x < 0$): עולה מ-$y = 1$ אל $+\infty$.
מושגים: סקיצה, תנהגות גרף
שלב 6: ג: קביעת התחום שבו f'(x) שלילית
הנגזרת שלילית = הפונקציה בירידה. מהגרף: בתחום $0 < x < 1\frac{2}{3}$ הפונקציה יורדת. תשובה: $f'(x) < 0$ כאשר $0 < x < 1\frac{2}{3}$
מושגים: נגזרת שלילית, פונקציה יורדת, סימן הנגזרת
פוקוס המורה הפרטי
הקשר בין סימן הנגזרת ובין תנהגות הפונקציה (עלייה/ירידה)
