משולש $ABC$ חסום במעגל. הישר $PA$ משיק למעגל בנקודה $A$. המשך המיתר $BC$ חותך את המשיק בנקודה $P$ (הנקודה $B$ נמצאת בין $P$ ל-$C$). דרך הנקודה $B$ העבירו ישר המקביל למשיק $PA$. ישר זה חותך את המיתר $AC$ בנקודה $L$ ואת המעגל בנקודה $K$. סרטוט גיאומטרי: משיק, מיתרים ומקבילים א. הוכח כי המשולש $PAB$ דומה למשולש $PCA$. ב. נתון כי $BC = 1.25 \cdot PB$. 1. הוכח כי $PA^2 = PB \cdot PC$. 2. מצא את היחס בין אורך המשיק $PA$ לבין אורך הקטע $PB$. ג. הוכח כי המיתר $AC$ חוצה את הזווית $\angle BCK$, והסבר מדוע שטח המשולש $ABC$ שווה לשטח המשולש $AKC$.
הטיפ של עובד
אל תתנו להסרת משפט המשיק והחותך להפחיד אתכם. הדמיון שבסעיף א' הוא בדיוק מה שבונה את הפרופורציה הזו. ברגע שיש לכם דמיון בין משולש 'חיצוני' למשולש 'גדול', כל שאר הקשרים האלגבריים יפלו למקום כמו פאזל.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: הוכחת דמיון משולשים (סעיף א')
הזווית $\angle P$ משותפת לשני המשולשים $PAB$ ו-$PCA$. לפי משפט המשיק והמיתר: הזווית בין משיק $PA$ למיתר $AB$ שווה לזווית היקפית הנשענת על המיתר מהצד השני, כלומר $\angle PAB = \angle PCA$. לפי קריטריון ז.ז (שתי זוויות שוות): $\triangle PAB \sim \triangle PCA$
מושגים: דמיון משולשים, משפט משיק ומיתר, זוויות היקפיות
שלב 2: משפט המשיק והחותך (סעיף ב', חלק 1)
מהדמיון $\triangle PAB \sim \triangle PCA$ נובע היחס בין הצלעות המתאימות: \frac{PA}{PC} = \frac{PB}{PA} PA^2 = PB \cdot PC
מושגים: משפט משיק וחותך, דמיון משולשים, פרופורציות
שלב 3: חישוב היחס (סעיף ב', חלק 2)
נתון: $BC = 1.25 PB = \frac{5}{4} PB$ כיוון ש-$B$ נמצא בין $P$ ל-$C$: $PC = PB + BC = PB + \frac{5}{4} PB = \frac{9}{4} PB$ מ-$PA^2 = PB \cdot PC$: $PA^2 = PB \cdot \frac{9}{4} PB = \frac{9}{4} PB^2$ PA = \frac{3}{2} PB \frac{PA}{PB} = 1.5
מושגים: אלגברה, פרופורציות, משוואות
שלב 4: חלוקת זווית ושוויון שטחים (סעיף ג')
הישר דרך $B$ המקביל ל-$PA$ יוצר זוויות שוות בגלל תכונות מקבילים וזוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות בין המקבילים. לפיכך: $\angle ACB = \angle ACK$, כלומר $AC$ חוצה את הזווית $\angle BCK$ שטח $\triangle ABC$ שווה לשטח $\triangle AKC$ מכיוון שיש להם בסיס משותף $AC$ וגובה שווה (בגלל $AB = AK$ והזוויות בין הצלעות).
מושגים: זוויות היקפיות, שטחי משולשים, מיתרים ומקבילים
משולש ABC חסום במעגל. הישר PA משיק למעגל בנקודה A. המשך המיתר BC חותך את המשיק בנקודה P (הנקודה B נמצאת בין P ל-C). דרך הנקודה B העבירו ישר המקביל למשיק PA. ישר זה חותך את המיתר AC בנקודה L ואת המעגל בנקודה K.
א. הוכח כי המשולש PAB דומה למשולש PCA.
ב. נתון כי BC=1.25⋅PB.
1. הוכח כי PA2=PB⋅PC.
2. מצא את היחס בין אורך המשיק PA לבין אורך הקטע PB.
ג. הוכח כי המיתר AC חוצה את הזווית ∠BCK, והסבר מדוע שטח המשולש ABC שווה לשטח המשולש AKC.
