חזרה לקטלוג
#32פונקציות ונגזרות
חקירה איכותנית של פונקציה הופכיתקראו את השאלה
שאלה
נתונה פונקציה שהיא רציפה וגזירה לכל . הפונקציה מוגדרת על ידי . לפניך גרף הפונקציה בתחומי הגדרתה: , , , או .
פונקציות ונגזרות · חקירה איכותנית של פונקציה הופכית
השאלה
נתונה פונקציה $f(x)$ שהיא רציפה וגזירה לכל $x$. הפונקציה $g(x)$ מוגדרת על ידי $g(x) = \frac{1}{f(x)}$. לפניך גרף הפונקציה $g(x)$ בתחומי הגדרתה: $x > 3$, $0 < x < 3$, $-3 < x < 0$, או $x < -3$.
הטיפ של עובד
בחקירת פונקציה הופכית, הטיפ המנצח הוא לעבוד עם השוואת סימנים ומגמות. זכרו: כיוון ש-$g(x) = \frac{1}{f(x)}$, הרי ש-$f(x) = \frac{1}{g(x)}$. כלומר, ערכי ה-$y$ של נקודות הקיצון, האסימפטוטות והסימנים פשוט מתהפכים כפלייתית ($y \to \frac{1}{y}$). לגבי תחומי עלייה וירידה - הם מתחלפים לחלוטין!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א: מציאת נקודות הקיצון של $f(x)$ וסיווגן
בשל הקשר $g(x) = \frac{1}{f(x)}$, נגזרות שתי הפונקציות מקיימות $g'(x) = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}$. נקודות קיצון משותפות בשיעור $x$ אך סוגן מתהפכים. מנקודת המינימום של $g(x)$ ב-$(1, 1)$: $f(1) = \frac{1}{1} = 1$, וזו **מקסימום** של $f(x)$. מנקודת המקסימום של $g(x)$ ב-$(-2, -2)$: $f(-2) = \frac{1}{-2} = -0.5$, וזו **מינימום** של $f(x)$.
מושגים: נקודות קיצון, פונקציה הופכית, סיווג קיצון
שלב 2: סעיף ב: פתרון המשוואה $f(x) = 0$
הנקודות בהן $f(x) = 0$ הן בדיוק הנקודות שבהן המכנה של $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ מתאפס, כלומר היכן שיש אסימפטוטות אנכיות. מהגרף נראה שלוש אסימפטוטות אנכיות ב-$x = -3$, $x = 0$, ו-$x = 3$. x = -3, \; x = 0, \; x = 3
מושגים: אסימפטוטות אנכיות, אפסים של פונקציה, קטבים
שלב 3: סעיף ג: תחומי חיוביות, שליליות, עלייה וירידה
**חיוביות ושליליות:** מכיוון ש-$g(x) = \frac{1}{f(x)}$ והמונה חיובי, הסימן של $g(x)$ זהה לסימן של $f(x)$. חיוביות של $f(x)$: $0 < x < 3$ או $x < -3$ שליליות של $f(x)$: $x > 3$ או $-3 < x < 0$ **עלייה וירידה:** בשל סימן המינוס בנגזרת, תחומים אלה מתהפכים. עלייה של $f(x)$: $-2 < x < 0$ או $0 < x < 1$ ירידה של $f(x)$: $x < -3$ או $-3 < x < -2$ או $1 < x < 3$ או $x > 3$
מושגים: תחומי חיוביות, תחומי שליליות, עלייה וירידה
שלב 4: סעיף ד: מרחק בין אסימפטוטות אופקיות
נתון: המרחק בין אסימפטוטות אופקיות של $g(x)$ הוא $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. אסימפטוטה של $g(x)$ היא $y = -1$. האסימפטוטה השנייה: $y = -1 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$ בעזרת $f(x) = \frac{1}{g(x)}$, אסימפטוטות $f(x)$ הן: $y = \frac{1}{-1} = -1$ ו-$y = \frac{1}{1/3} = 3$ d = 3 - (-1) = 4
מושגים: אסימפטוטות אופקיות, גבולות בדרך כלל, הופכה של פונקציה
שלב 5: סעיף ה: סקיצה של גרף $f(x)$
הפונקציה $f(x)$ רציפה בכל תחומה (לא כמו $g(x)$ שיש לה אסימפטוטות אנכיות). נקודות קיצון: מקסימום ב-$(1, 1)$, מינימום ב-$(-2, -0.5)$ נקודות חיתוך עם ציר $x$: $x = -3, 0, 3$ אסימפטוטות אופקיות: $y = 3$ (כאשר $x \to -\infty$) ו-$y = -1$ (כאשר $x \to +\infty$) הגרף יורד מ-$y = 3$, חוצה את ציר $x$ ב-$x = -3$, עולה למינימום $-0.5$, עולה לחיתוך ב-$x = 0$, ממשיך לעלות למקסימום $1$ ב-$x = 1$, יורד דרך $x = 3$, ונצמד לאסימפטוטה $y = -1$.
מושגים: סרטוט גרפים, תכונות פונקציות, קשרי קיצון ומונוטוניות
שלב 6: סעיף ו: השוואת אינטגרלים
**בתחום $[-1, 2]$:** $f(x)$ שלילית מ-$-1$ ל-$0$ (תורמת ערך שלילי) וחיובית מ-$0$ ל-$2$. האינטגרל הוא $a + b - c$ כאשר $c$ כמות שלילית. **בתחום $[0, 3]$:** $f(x)$ חיובית לחלוטין עם מקסימום ב-$(1, 1)$. האינטגרל הוא $a + b + d$ כל חיובי. **בתחום $[-2, 1]$:** $f(x)$ שלילית מ-$-2$ ל-$0$ (עם מינימום $-0.5$) וחיובית מ-$0$ ל-$1$. האינטגרל הוא $b - e$ כאשר $e$ שטח שלילי משמעותי. ביטוי **(II)** הוא הגדול ביותר כיוון שהוא מכיל את כל השטח החיובי כולל הנקודה שבה הפונקציה מגיעה לערכה המקסימלי.
מושגים: אינטגרל מסוים, שטח מתחת לעקומה, השוואת שטחים
פוקוס המורה הפרטי
הבנת הקשר בין גרף של פונקציה להופכית שלה, תרגום בין תכונות הגרף לנתונים של הפונקציה המקורית