נתונה הפונקציה $f(x) = (3x - 9) \cdot \sqrt{15 - x}$. א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. נתונה הפונקציה $g(x) = f(x + 6)$, המוגדרת בתחום $x \le 9$. ה. (1) קבעו איזה מן הגרפים I-IV שלפניכם מתאר את הפונקציה $g(x)$. נמקו את קביעתכם. (2) מה הם שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה $g(x)$?
כשאתם מתבקשים לגזור פונקציית שורש המוכפלת בפולינום, זכרו להשתמש בכלל המכפלה ובזהירות עם המכנה שנוצר מנגזרת השורש! בנוסף, לגבי סעיף ה', מדובר בהזזה אופקית. כשמוסיפים למשתנה בסוגריים, כמו ב-$f(x+6)$, כל הגרף "נוסע" 6 יחידות שמאלה. המשמעות היא שכל נקודות הציון שמצאתם (נקודות חיתוך, נקודות קיצון ונקודת הקצה) פשוט יקבלו ערך x קטן ב-6, בעוד שערכי ה-y שלהן יישארו ללא שינוי.
הפונקציה $f(x) = (3x - 9) \cdot \sqrt{15 - x}$ מכילה שורש ריבועי, לכן הביטוי בתוך השורש חייב להיות אי-שלילי: 15 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 15 תחום ההגדרה הוא $x \le 15$.
מושגים: תחום הגדרה, שורש ריבועי, אי-שוויון
**חיתוך עם ציר y** ($x = 0$): f(0) = (3 \cdot 0 - 9) \cdot \sqrt{15 - 0} = -9\sqrt{15} חיתוך: $(0, -9\sqrt{15})$ **חיתוך עם ציר x** ($y = 0$): (3x - 9) \cdot \sqrt{15 - x} = 0 כאשר מכפלה שווה לאפס, לפחות אחד מהגורמים הוא אפס: 3x - 9 = 0 \Rightarrow x = 3 \quad \text{או} \quad \sqrt{15 - x} = 0 \Rightarrow x = 15 חיתוכים: $(3, 0)$ ו-$(15, 0)$
מושגים: חיתוך עם צירים, משוואה, ערך הפונקציה
בעזרת כלל המכפלה: f'(x) = 3 \cdot \sqrt{15 - x} + (3x - 9) \cdot \frac{-1}{2\sqrt{15 - x}} מכנה משותף $2\sqrt{15-x}$: f'(x) = \frac{6(15 - x) - (3x - 9)}{2\sqrt{15 - x}} = \frac{99 - 9x}{2\sqrt{15 - x}} השוואת מונה לאפס: 99 - 9x = 0 \Rightarrow x = 11 f(11) = (33 - 9) \cdot \sqrt{4} = 24 \cdot 2 = 48 עבור $x < 11$: הנגזרת חיובית (פונקציה עולה). עבור $x > 11$: הנגזרת שלילית (פונקציה יורדת). לכן $(11, 48)$ היא מקסימום פנימי. בקצה התחום: $(15, 0)$ היא מינימום קצה.
מושגים: נקודות קיצון, נגזרת, כלל המכפלה, מקסימום, מינימום
הפונקציה $g(x) = f(x + 6)$ היא הזז של $f(x)$ שמאלה ב-6 יחידות. **סעיף (1):** נקודות מרכזיות של $f(x)$ משתנות כך: x = 3 \to 3 - 6 = -3, \quad x = 11 \to 11 - 6 = 5, \quad x = 15 \to 15 - 6 = 9 גרף III מתאים: חיתוך בצד שלילי, מקסימום פנימי ב-$x=5$, וקצה ב-$x=9$. **סעיף (2):** בהזזה אופקית, $y$ נשאר זהה: (11, 48) \to (5, 48)
מושגים: הזזה אופקית, העברת גרף, פונקציה מורכבת
הבנת חקירת פונקציה, כלל המכפלה בנגזרות, והעברות אופקיות
נתונה הפונקציה f(x)=(3x−9)⋅15−x.
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x)=f(x+6), המוגדרת בתחום x≤9.
ה. (1) קבעו איזה מן הגרפים I-IV שלפניכם מתאר את הפונקציה g(x). נמקו את קביעתכם. (2) מה הם שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה g(x)?
