חקירת פונקציות ונגזרות · שורש ללא מכפלה
השאלה
הפונקצייה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x \le 3$, ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x < 3$. לפונקצייה $f(x)$ יש נקודת קיצון פנימית אחת בלבד, מסוג מקסימום. בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים, I ו- II. אחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$. א. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$, ונמקו את קביעתכם. נתון: $f(x) = 5x + 2\sqrt{15 - 5x}$ ב. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה $f(x)$, וקבעו את סוגן. גרף הפונקצייה $f(x)$ חותך את ציר ה-$x$ בנקודה אחת בלבד, בחלקו השלילי. ג. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה-$x$. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$.
הטיפ של עובד
זיהוי גרף נגזרת בקלי קלות: כשאומרים לכם שלפונקציה יש מקסימום פנימי, זה אומר שהנגזרת חייבת לעבור מחיוביות לשליליות! גרף I מתחיל מעל ציר ה-x, חותך אותו ואז יורד מתחתיו, ולכן הוא מתאר נגזרת של נקודת מקסימום. גרף II עושה בדיוק את ההיפך.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א: זיהוי גרף הנגזרת מתוך הבנה ויזואלית
הנתון המרכזי הוא שלפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום פנימית אחת בלבד. סביב נקודת מקסימום, הפונקציה קודם עולה (מטפסת לפסגה) ואז יורדת. כשהפונקציה עולה $\Rightarrow$ הנגזרת חיובית (מעל ציר ה-$x$). כשהפונקציה יורדת $\Rightarrow$ הנגזרת שלילית (מתחת לציר ה-$x$). גרף הנגזרת חייב להתחיל מעל ציר ה-$x$, לחצות אותו באותה נקודת המקסימום, ואז לרדת מתחתיו. גרף I עושה בדיוק זאת. תשובה: גרף I מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$.
מושגים: קשר גרפי בין פונקציה לנגזרת, זיהוי מקסימום, חיוביות ושליליות
שלב 2: סעיף ב: נקודות קיצון פנימיות וקצה
נגזור את הפונקציה $f(x) = 5x + 2\sqrt{15 - 5x}$ באמצעות כלל השרשרת: f'(x) = 5 + 2 \cdot \frac{-5}{2\sqrt{15 - 5x}} = 5 - \frac{5}{\sqrt{15 - 5x}} נשווה את הנגזרת לאפס כדי למצוא נקודות קיצון פנימיות: 5 - \frac{5}{\sqrt{15 - 5x}} = 0 \Rightarrow 5 = \frac{5}{\sqrt{15 - 5x}} \Rightarrow \sqrt{15 - 5x} = 1 15 - 5x = 1 \Rightarrow 5x = 14 \Rightarrow x = 2.8 מציבים בפונקציה המקורית: f(2.8) = 5(2.8) + 2\sqrt{15 - 14} = 14 + 2\sqrt{1} = 14 + 2 = 16 הנקודה $(2.8, 16)$ היא נקודת מקסימום פנימית (כנתון בשאלה). בדיקת נקודות קצה: הפונקציה מוגדרת עבור $x \le 3$. בקצה $x = 3$: f(3) = 5(3) + 2\sqrt{15 - 15} = 15 + 0 = 15 מאחר שהפונקציה יורדת מהנקודה $(2.8, 16)$ אל $(3, 15)$, נקודת הקצה היא נקודת מינימום. תשובה: $(2.8, 16)$ נקודת מקסימום פנימית, $(3, 15)$ נקודת מינימום קצה.
מושגים: נגזרת, כלל השרשרת, קיצון פנימי, נקודות קצה
שלב 3: סעיף ג: חיתוך עם ציר ה-x
נשווה את הפונקציה לאפס כדי למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה-$x$: 5x + 2\sqrt{15 - 5x} = 0 \Rightarrow 2\sqrt{15 - 5x} = -5x מכיוון שהשורש הוא תמיד אי-שלילי, אגף שמאל אי-שלילי. לכן גם אגף ימין צריך להיות אי-שלילי: $-5x \ge 0 \Rightarrow x \le 0$. זה מתאים לנתון שהחיתוך בחלק השלילי! מעלים את שני האגפים בריבוע: 4(15 - 5x) = 25x^2 \Rightarrow 60 - 20x = 25x^2 \Rightarrow 25x^2 + 20x - 60 = 0 חלוקה ב-5: 5x^2 + 4x - 12 = 0 שימוש בנוסחת השורשים: x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{10} = \frac{-4 \pm 16}{10} הפתרונות: $x_1 = \frac{12}{10} = 1.2$ ו-$x_2 = \frac{-20}{10} = -2$. הפתרון $x = 1.2$ נפסל כי הוא חיובי והתנאי היה $x \le 0$. הפתרון התקף הוא $x = -2$. תשובה: נקודת החיתוך עם ציר ה-$x$ היא $(-2, 0)$.
מושגים: חיתוך עם ציר, משוואה אי-רציונלית, תנאי תחוםהגדרה
שלב 4: סעיף ד: סקיצה של גרף הפונקציה
נאסוף את כל המידע שמצאנו: • חיתוך עם ציר ה-$x$: $(-2, 0)$ - משם הגרף מתחיל לעלות • פסגת המקסימום: $(2.8, 16)$ • נקודת הקצה (מינימום): $(3, 15)$ - הגרף מסתיים כאן הגרף עולה בתלילות מנקודת החיתוך $(-2, 0)$, עובר דרך ציר ה-$y$ בערך ב-$2\sqrt{15} \approx 7.74$, מגיע לפסגת המקסימום ב-$(2.8, 16)$ שקרובה מאד לקצה הימני, ואז יורד מעט לנקודת הסיום ב-$(3, 15)$.
מושגים: סקיצה, תכונות פונקציה, שורש ריבועי
