נגזרות · חקירת פונקציה טריגונומטרית
השאלה
נתונה הפונקציה: f(x) = \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\cos x} בתחום: $0 \le x \le \pi$ א. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לציר ה-y. ב. מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. ג. מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-x. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ה. נגדיר את הפונקציה $g(x) = |f(x)|$. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $g(x)$ בתחום הנתון, וקבע את סוגן. נמק את תשובתך ללא צורך בחישובי נגזרת. ו. נגדיר את הפונקציה $h(x) = \frac{1}{|f(x)|}$ (בתחום הנתון). תלמיד טען שתי טענות לגבי הפונקציה $h(x)$: טענה א: הישר $x = \frac{\pi}{2}$ הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה $h(x)$. טענה ב: לפונקציה $h(x)$ יש נקודת מקסימום מקומית אחת בלבד. קבע לגבי כל טענה האם היא נכונה או שגויה, ונמק את קביעתך.
הטיפ של עובד
בסעיפי חשיבה על פונקציית 'אחד חלקי' ($\frac{1}{f(x)}$), תזכרו חוק פשוט של 'מהפכים': איפה שהפונקציה המקורית מתאפסת (חיתוך עם ציר x) - הפונקציה החדשה שואפת לאינסוף ומקבלת אסימפטוטה. אבל איפה שהפונקציה המקורית שואפת לאינסוף (אסימפטוטות אנכיות מקוריות) - הפונקציה החדשה שואפת ל-0 ומקבלת 'חור'! בנוסף, הרים הופכים לעמקים: נקודת מינימום של המקור תהפוך לנקודת מקסימום של ההופכית.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: א. מציאת האסימפטוטות האנכיות
אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר המכנה מתאפס. עבור הפונקציה $f(x) = \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\cos x}$, זה קורה כאשר $\sin x = 0$ או $\cos x = 0$. $\sin x = 0$ בנקודות: $x = 0$ ו-$x = \pi$ $\cos x = 0$ בנקודה: $x = \frac{\pi}{2}$ \text{אסימפטוטות: } x = 0, \quad x = \frac{\pi}{2}, \quad x = \pi
מושגים: אסימפטוטות אנכיות, פונקציה טריגונומטרית, תחום הגדרה
שלב 2: ב. מציאת נקודת הקיצון וקביעת סוגה
נחשב את הנגזרת: f'(x) = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} משווים לאפס ומוצאים שהקיצון מתרחש ב-$x = \frac{3\pi}{4}$. חישוב הערך: $f(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\sin(\frac{3\pi}{4})} - \frac{1}{\cos(\frac{3\pi}{4})} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ \text{נקודת הקיצון: } \left(\frac{3\pi}{4}, 2\sqrt{2}\right) \text{ - מינימום}
מושגים: נגזרת, קיצון, מינימום, בדיקת סוג קיצון
שלב 3: ג. מציאת נקודת החיתוך עם ציר ה-x
חיתוך עם ציר ה-x כאשר $f(x) = 0$: \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\cos x} = 0 זה משמעותו $\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\cos x}$, כלומר $\sin x = \cos x$. בתחום $[0, \pi]$, הפתרון היחיד הוא $x = \frac{\pi}{4}$. \text{נקודת החיתוך: } \left(\frac{\pi}{4}, 0\right)
מושגים: חיתוך צירים, משוואה טריגונומטרית, אפסים של פונקציה
שלב 4: ד. סקיצה של גרף הפונקציה
הגרף מתחלק לשלוש ענפים בהתאם לאסימפטוטות האנכיות: • בתחום $(0, \frac{\pi}{2})$: הפונקציה יורדת מ-$+\infty$ לחיתוך בנקודה $(\frac{\pi}{4}, 0)$ ואז ממשיכה לירידה עד $-\infty$. • בתחום $(\frac{\pi}{2}, \pi)$: הפונקציה עולה מ-$+\infty$ לנקודת המינימום $(\frac{3\pi}{4}, 2\sqrt{2})$ ואז יורדת ל-$-\infty$.
מושגים: סקיצה גרף, התנהגות גרף, אסימפטוטות
שלב 5: ה. קיצון של $g(x) = |f(x)|$
כאשר מיישמים ערך מוחלט, החלקים השליליים של הגרף 'מתקפלים' למעלה. לפונקציה $g(x) = |f(x)|$ יש שתי נקודות מינימום: 1. $(\frac{3\pi}{4}, 2\sqrt{2})$ - מינימום מקומי (נשאר ללא שינוי כיוון שנקודה זו הייתה מינימום בפונקציה המקורית והייתה חיובית) 2. $(\frac{\pi}{4}, 0)$ - מינימום מוחלט (נוצרה מקיפול החלק השלילי של הגרף, ונקודת החיתוך הופכת ל'שפיץ' כלומר נקודה שבה הנגזרת אינה קיימת) הנימוק: קיפול הגרף הופך את כל נקודות ההשפעה של הערך המוחלט, כלומר בדיוק בנקודות שבהן הפונקציה המקורית חוצה את ציר ה-x, נוצרים 'שפיצים' בערך המוחלט.
מושגים: ערך מוחלט, קיצון, קיפול גרף, שפיצים
שלב 6: ו. הערכת טענות על $h(x) = \frac{1}{|f(x)|}$
טענה א' - שגויה: הישר $x = \frac{\pi}{2}$ הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה המקורית $f(x)$, כלומר כאשר $x \to \frac{\pi}{2}$, הערכים של $f(x)$ שואפים לאינסוף. כאשר עושים '1 חלקי אינסוף' בהופכית, הערך שואף ל-0. לכן ב-$x = \frac{\pi}{2}$ אין אסימפטוטה אנכית ל-$h(x)$, אלא חור (נקודת אי-רציפות סליקה) בשיעור $(\frac{\pi}{2}, 0)$. טענה ב' - נכונה: לפי סעיף ה', לפונקציה $g(x) = |f(x)|$ יש שתי נקודות מינימום. בנקודה $(\frac{\pi}{4}, 0)$ המכנה מתאפס, ולכן בהופכית $h(x)$ תיווצר שם אסימפטוטה אנכית (לא מקסימום). בנקודה $(\frac{3\pi}{4}, 2\sqrt{2})$ המכנה שונה מאפס. מכיוון ש-$h(x) = \frac{1}{g(x)}$, הערך הקטן ביותר במכנה ייצור את הערך הגדול ביותר בשבר כולו. לכן נקודה זו, ורק היא, הופכת לנקודת מקסימום של $h(x)$ בשיעור $(\frac{3\pi}{4}, \frac{1}{2\sqrt{2}})$.
מושגים: הופכית פונקציה, אסימפטוטה אנכית, חור בגרף, קיצון של הופכית, חוק מהפכים
פוקוס המורה הפרטי
הבנת התכונות של פונקציות הופכיות וערך מוחלט בחקירת פונקציות
