חקירת פונקציות · פונקציית מכפלה, תכונות זוגיות ואינטגרלים

שלב 1: סעיף א': התאמת הגרף לפונקציה \( g(x) \)

נבדוק את סימן הפונקציה החדשה \( g(x) = f(x) \cdot f'(x) \) בקצה הימני של התחום, כאשר \( x > 2 \): לפי גרף הפונקציה \( f(x) \) הנתון: • עבור \( x > 2 \), הגרף נמצא מעל ציר ה-x, ולכן \( f(x) > 0 \). • עבור \( x > 2 \), הפונקציה יורדת (מתקרבת לאסימפטוטה האופקית מלמעלה), ולכן \( f'(x) < 0 \). מכאן שבקצה הימני מתקיים: \( g(x) = (+) \cdot (-) = (-) \). כלומר, הגרף חייב להימצא מתחת לציר ה-x (שלילי) עבור \( x > 2 \). מסקנה זו פוסלת את גרפים I ו-II, שבהם הענף הימני הוא חיובי (מעל ציר ה-x). כעת, נבחן את זוגיות הפונקציה כדי לאמת את בחירתנו: נתון כי \( f(x) \) היא פונקציה זוגית (ניתן גם לראות שהיא מורכבת רק מחזקות זוגיות של x וסימטרית לציר ה-y). כלל ידוע הוא שהנגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית. לכן \( f'(x) \) היא פונקציה אי-זוגית. פונקציית המכפלה מורכבת מ: (זוגית) × (אי-זוגית) = פונקציה אי-זוגית. כלומר, הפונקציה \( g(x) \) חייבת להיות סימטרית ביחס לראשית הצירים. גרף I מציג פונקציה חסרת סימטריה וגרף II מציג פונקציה אי-זוגית (אך כבר נפסל בשלב הקודם). לכן, הגרף היחיד שמתאים לשני התנאים הוא גרף III. המסקנה: הגרף הנכון הוא גרף III.

מושגים: זיהוי גרף פונקציית מכפלה, תכונות זוגיות בנגזרות ומכפלות

שלב 2: סעיף ב': מציאת גבולות האינטגרציה

אנו מתבקשים לחשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה \( g(x) \) ובין ציר ה-x. השטח הזה מוגבל בין נקודות החיתוך של הפונקציה עם הציר. נמצא את נקודות החיתוך: \[ g(x) = 0 \implies f(x) \cdot f'(x) = 0 \] המכפלה שווה לאפס כאשר \( f(x) = 0 \) או כאשר \( f'(x) = 0 \). • \( f(x) = 0 \implies \frac{x^2 - c}{x^2 - 4} = 0 \implies x^2 = c \implies x = \pm\sqrt{c} \) • \( f'(x) = 0 \implies \) בנקודת הקיצון, שבה לפי הגרף הנתון \( x = 0 \) השטח הכלוא מורכב משני חלקים: מ- \( -\sqrt{c} \) עד \( 0 \), ומ- \( 0 \) עד \( \sqrt{c} \). מכיוון שהפונקציה אי-זוגית, שני השטחים הללו שווים בגודלם (הם מהווים השתקפות אחד של השני). לכן, נוכל לחשב רק את השטח שמימין לציר ה-y, ולכפול אותו פי 2.

שלב 3: שלב האינטגרציה לחישוב השטח

נחשב את האינטגרל בתחום שבין \( 0 \) ל- \( \sqrt{c} \). לפי הגרף הנכון שבחרנו (גרף III), הפונקציה בחלק זה נמצאת מתחת לציר ה-x (שלילית). לכן, נציב סימן מינוס לפני האינטגרל: \[ S_1 = -\int_{0}^{\sqrt{c}} f(x) \cdot f'(x) dx \] על פי כלל האינטגרציה הידוע עבור פונקציה כפול נגזרתה: \( \int f(x)f'(x)dx = \frac{[f(x)]^2}{2} \). נציב את הכלל ונקבל: \[ S_1 = -\left[ \frac{(f(x))^2}{2} \right]_{0}^{\sqrt{c}} \] נציב את הגבולות (עליון פחות תחתון): \[ S_1 = -\left( \frac{(f(\sqrt{c}))^2}{2} - \frac{(f(0))^2}{2} \right) \] נמצא את ערכי הפונקציה \( f(x) \) בגבולות אלו: • הערך בנקודת החיתוך: \( f(\sqrt{c}) = 0 \) • הערך ב- \( x = 0 \): \( f(0) = \frac{0^2 - c}{0^2 - 4} = \frac{-c}{-4} = \frac{c}{4} \) נציב חזרה בביטוי של השטח: \[ S_1 = -\left( \frac{0^2}{2} - \frac{(\frac{c}{4})^2}{2} \right) = -\left( 0 - \frac{\frac{c^2}{16}}{2} \right) = \frac{c^2}{32} \]

מושגים: אינטגרל של פונקציה כפול נגזרתה

שלב 4: חישוב השטח הכולל

כפי שהסברנו, השטח הכולל מורכב משני חלקים סימטריים וזהים בגודלם. לכן, נכפול את השטח שחישבנו פי 2: \[ S_{total} = 2 \cdot S_1 = 2 \cdot \frac{c^2}{32} = \frac{c^2}{16} \]