אלגברה · פרמטרים ואי-שוויונות

השאלה

מצאו עבור אילו ערכי $ m $, נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-$ y $ נמצאת מתחת לישר $ y = -3 $ : $ y = x^2 - (2m+2)x + m^2 - 2m - 3 $

הטיפ של עובד

אל תיבהלו מהפרמטרים והסוגריים הארוכים שמחוברים ל-$x$! כשמבקשים "נקודת חיתוך עם ציר $y$", הפעולה הראשונה והיחידה היא להציב $x=0$. כל האיברים עם ה-$x$ נעלמים בשנייה ונשארים רק עם "האיבר החופשי" הטהור (ללא ה-$x$). בנוסף, המשפט הגיאומטרי "נמצאת מתחת לישר $y=-3$" פשוט אומר בשפת האלגברה שה-$y$ של הנקודה צריך להיות קטן ממינוס 3. ברגע שמבינים את המילון הזה, השאלה נפתרת בשתי שורות!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: שלב 1 - הבעת נקודת החיתוך עם ציר ה-y

כדי למצוא את שיעורי נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-$y$, נציב בפונקציה הנתונה $ x = 0 $: $ y = (0)^2 - (2m+2) \cdot 0 + m^2 - 2m - 3 $ שני האיברים הראשונים מתאפסים, ונשארנו עם האיבר החופשי בלבד: $ y = m^2 - 2m - 3 $ כלומר, נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-$y$ היא בנקודה שבה: $ (0, m^2 - 2m - 3) $

שלב 2: שלב 2 - בניית אי-השוויון

לפי הנתון בשאלה, אנו מחפשים את ערכי $m$ שעבורם נקודת החיתוך הזו נמצאת מתחת לישר $ y = -3 $. משמעות הדבר היא ששיעור ה-$y$ של נקודת החיתוך חייב להיות קטן ממש מ- $-3$. נרכיב את אי-השוויון: $ m^2 - 2m - 3 < -3 $

שלב 3: שלב 3 - פתרון אי-השוויון הריבועי

כדי לפתור את אי-השוויון, קודם כל נעביר את ה-$-3$ מאגף ימין לאגף שמאל: $ m^2 - 2m - 3 + 3 < 0 $ $ m^2 - 2m < 0 $ נמצא את נקודות ההתאפסות של הפונקציה הריבועית. נוציא גורם משותף $ m $: $ m(m - 2) = 0 $ נקודות ההתאפסות הן: $ m_1 = 0 $ $ m_2 = 2 $ כעת, נבדוק את הסקיצה של הפרבולה $ y = m^2 - 2m $: זוהי פרבולה "מחייכת" (מכיוון שהמקדם של $m^2$ הוא חיובי, +1). אי-השוויון מבקש מאיתנו למצוא מתי הפרבולה קטנה מאפס (נמצאת מתחת לציר ה-$m$). בפרבולה מחייכת, השטח שמתחת לציר נמצא תמיד בין שני השורשים. לכן, התחום המבוקש הוא: $ 0 < m < 2 $.

תשובה סופית

התשובה הסופית: $ 0 < m < 2 $

חזרה לקטלוג

#125אלגברה

פרמטרים ואי-שוויונות

קראו את השאלה

שאלה

מצאו עבור אילו ערכי $m$ , נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה- $y$ נמצאת מתחת לישר $y = -3$ :

$y = x^2 - (2m+2)x + m^2 - 2m - 3$