בעיות קיצון · מלבן חסום במשולש ישר זווית

שלב 1: סעיף א': הבעת אורך הקטע \( CD \) באמצעות דמיון משולשים

המרובע \( CDEF \) הוא מלבן, ולכן צלעותיו הנגדיות מקבילות זו לזו. מכאן נובע כי \( EF \parallel AC \). כאשר ישר חותך שתי צלעות במשולש ומקביל לצלע השלישית, הוא יוצר משולש קטן הדומה למשולש הגדול. במקרה שלנו, המשולש \( \triangle EFB \) דומה למשולש הגדול \( \triangle ACB \). נוכיח זאת בקצרה: \( \angle EFB = \angle ACB = 90^\circ \) (זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים). \( \angle B = \angle B \) (זווית משותפת). לכן, \( \triangle EFB \sim \triangle ACB \) (לפי משפט דמיון ז.ז). מכיוון שהמשולשים דומים, יחס הצלעות המתאימות שווה: \[ \frac{EF}{AC} = \frac{FB}{CB} \] נציב את הנתונים שאנו יודעים: \( AC = 8 \), ו- \( CB = 6 \). את הקטע \( FB \) נוכל להביע על ידי חיסור קטעים: \( FB = CB - CF = 6 - x \). נציב הכל ביחס הדמיון: \[ \frac{EF}{8} = \frac{6 - x}{6} \] נכפול ב-8 כדי לבודד את \( EF \): \[ EF = \frac{8(6 - x)}{6} = \frac{4(6 - x)}{3} = 8 - \frac{4}{3}x \] מכיוון שבמלבן צלעות נגדיות שוות, הרי ש- \( CD = EF \). ולכן קיבלנו: \[ CD = 8 - \frac{4}{3}x \]

מושגים: דמיון משולשים בבעיות קיצון

שלב 2: סעיף ב': מציאת \( x \) לשטח מלבן מקסימלי

נבנה את פונקציית המטרה \( S(x) \), המייצגת את שטח המלבן \( CDEF \). שטח מלבן הוא מכפלת צלעותיו הסמוכות: \[ S(x) = CF \cdot CD = x \cdot \left(8 - \frac{4}{3}x\right) \] נפתח סוגריים: \[ S(x) = 8x - \frac{4}{3}x^2 \] זוהי הפונקציה שעלינו למצוא לה נקודת מקסימום. נגזור את הפונקציה לפי \( x \): \[ S'(x) = 8 - \frac{8}{3}x \] נשווה את הנגזרת לאפס כדי למצוא נקודות קיצון: \[ 8 - \frac{8}{3}x = 0 \] \[ 8 = \frac{8}{3}x \] נחלק ב-8 ונכפול ב-3: \[ 1 = \frac{1}{3}x \implies x = 3 \] נוודא שמדובר במקסימום. הנגזרת השנייה היא \( S''(x) = -\frac{8}{3} \). מכיוון שהנגזרת השנייה שלילית (\( S''(3) < 0 \)), מדובר בנקודת מקסימום. (הערה: ניתן גם לשים לב שפונקציית השטח היא פרבולה "בוכה" - המקדם של \( x^2 \) שלילי, ולכן הקודקוד שלה הוא בהכרח מקסימום).

מושגים: בניית פונקציית מטרה

שלב 3: סעיף ג': חישוב השטח המקסימלי

כדי למצוא את השטח המקסימלי, פשוט נציב את הערך \( x = 3 \) שמצאנו בתוך פונקציית השטח \( S(x) \): \[ S(3) = 8(3) - \frac{4}{3}(3)^2 \] \[ S(3) = 24 - \frac{4}{3} \cdot 9 = 24 - 12 = 12 \] השטח המקסימלי של המלבן הוא 12 יחידות ריבועיות.

שלב 4: סעיף ד': האם קיים \( x \) שעבורו השטח הוא 15?

בסעיפים הקודמים הוכחנו שהשטח הכי גדול שהמלבן הזה יכול להגיע אליו (תחת אילוצי המשולש הנתון) הוא 12 יח"ר. מכיוון ש-15 גדול מהערך המקסימלי המוחלט של הפונקציה (\( 15 > 12 \)), לא יכול להיות קיים שום ערך של \( x \) שייתן שטח כזה. הסבר אלגברי (למי שרוצה הוכחה נוספת): אם ננסה לדרוש \( S(x) = 15 \), נקבל את המשוואה: \( 8x - \frac{4}{3}x^2 = 15 \) \( 4x^2 - 24x + 45 = 0 \) אם ננסה לחשב את הדלתא של משוואה ריבועית זו, נקבל: \( \Delta = (-24)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 45 = 576 - 720 = -144 \). הדלתא שלילית, כלומר למשוואה אין פתרון ממשי. הוכחה לכך שאין \( x \) כזה.

מושגים: משמעות ערך המקסימום הפונקציונלי