בסרטוט משמאל נתונים הגרפים של שתי פונקציות: \( f(x) \) (בשחור) ו-\( g(x) \) (באדום). הגרפים נפגשים בשלוש נקודות: בנקודות \( A \) ו-\( C \) על ציר ה-\(x\), ובנקודת המקסימום המשותפת שלהן \( B \). בתחום שבין \(A\) ל-\(C\), הגרף של \( f(x) \) נמצא כולו מעל הגרף של \( g(x) \). מגדירים פונקציה חדשה: \( h(x) = f(x) - g(x) \) א. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה \( h(x) \). ב. כמה נקודות קיצון יש לפונקציה \( h(x) \) בתחום שבין \( A \) ל-\( C \), ומה סוגן?
אל תשקעו באלגברה! תלמידים נוטים לחפש פונקציות מסובכות, להציב אותן אחת בשנייה ולנסות לגזור. זה מבזבז זמן ומוביל לטעויות. כשהגדירו לכם \( h(x) = f(x) - g(x) \), רוצים שתבינו ש- \(h(x)\) מתארת פשוט את המרחק האנכי בין הגרף העליון לתחתון. חיתוך שווה לאפס: במקומות שבהם הגרפים נחתכים או נוגעים (משיקים) זה לזה (כמו בנקודות A, B, ו-C), המרחק ביניהם מתאפס. משמעות הדבר היא שגרף ההפרש \( h(x) \) ייגע או יחתוך את ציר ה-\(x\) בדיוק בנקודות אלו! מכיוון שבנקודה B הגרפים משיקים ולא חוצים זה את זה, פונקציית ההפרש תשיק לציר ה-x באותה נקודה. עלייה וירידה = התרחקות והתקרבות: איך יודעים מתי \(h(x)\) עולה או יורדת? אם המרחק בין הגרפים הולך וגדל, \(h(x)\) עולה. ברגע שהגרפים מתחילים שוב להתקרב זה לזה (למשל לקראת נקודה B), פונקציית ההפרש תתחיל לרדת עד שתגיע חזרה ל-0. התנהגות זו יוצרת לנו את נקודות הקיצון (המקסימום המקומי בין הנקודות).
1. מציאת נקודות האפס (חיתוך והשקה עם ציר x): פונקציית ההפרש מתאפסת מתי ש- \( f(x) = g(x) \). בסרטוט הנתון, הגרפים נחתכים ומשיקים ב-3 נקודות: \( x_A , x_B , x_C \). לכן, לגרף הפונקציה \( h(x) \) יהיו שלוש נקודות משותפות עם ציר ה-\(x\). מכיוון שהפונקציה \( f(x) \) תמיד מעל או שווה ל-\( g(x) \) בתחום הזה, הפונקציה \( h(x) \) לעולם לא תהיה שלילית. לכן בנקודה \( x_B \) היא תשיק לציר ה-\(x\) (מינימום מקומי שערכו 0). 2. ניתוח המגמה בקטע \( A \to B \): בין הנקודה \( A \) לנקודה \( B \), הפונקציה \( f(x) \) נמצאת מעל \( g(x) \). לכן, ההפרש \( f(x) - g(x) \) חיובי. בתחילת הקטע ב-\(A\) המרחק הוא 0. המרחק ביניהן הולך וגדל עד לנקודת שיא מסוימת (בה ההפרש מקסימלי), ולאחר מכן הגרפים שוב מתקרבים זה לזה עד לנקודה \(B\), שם המרחק שוב נסגר לאפס. התנהגות זו יוצרת לנו בגרף ההפרש צורה של "גבעה" (עלייה, הגעה למקסימום, וירידה למינימום על ציר ה-x). 3. ניתוח המגמה בקטע \( B \to C \): באופן דומה לחלוטין, בין הנקודה \( B \) לנקודה \( C \) הפונקציה \( f(x) \) נשארת מעל \( g(x) \). המרחק (שהיה אפס ב-\(B\)) הולך וגדל, מגיע לנקודת שיא מקסימלית חדשה, והולך וקטן עד שהוא נסגר לאפס בנקודה \( C \). כך נוצרת לנו "גבעה" חיובית שנייה.
מושגים: חשיבה ויזואלית על הפרשים
מתוך הסקיצה שבנינו ומתוך ניתוח השלבים, קל לראות: בין הנקודה \(A\) לנקודה \(B\), ההפרש גדל ואז קטן. לכן ישנה במרווח זה נקודת קיצון מסוג מקסימום (המייצגת את המרחק האנכי הגדול ביותר באותו קטע). בין הנקודה \(B\) לנקודה \(C\), ההפרש שוב גדל ואז קטן. לכן ישנה גם שם נקודת קיצון מסוג מקסימום. בנקודה \(B\) עצמה, פונקציית המרחק מגיעה לאפס ועולה חזרה, ולכן מדובר בנקודת קיצון מסוג מינימום. סך הכל קיימות 2 נקודות מקסימום פנימיות בין A ל-C.
מושגים: השקה בין גרפים = מינימום של ההפרש, התאמה בין נגזרת למרחק
התשובות הסופיות: א. סקיצת הפונקציה \( h(x) \): מפורטת בשלבי הפתרון. הגרף מורכב מ-2 "גבעות" רצופות מעל ציר ה-\(x\) שמשיקות לציר ה-x בנקודה B. ב. נקודות קיצון: ישנן 2 נקודות קיצון מסוג מקסימום בין \( A \) ל-\( C \) המייצגות את שיא המרחק. (ויש גם נקודת מינימום בנקודה B המשיקה לציר).
בסרטוט משמאל נתונים הגרפים של שתי פונקציות: f(x) (בשחור) ו-g(x) (באדום).
הגרפים נפגשים בשלוש נקודות: בנקודות A ו-C על ציר ה-x, ובנקודת המקסימום המשותפת שלהן B.
בתחום שבין A ל-C, הגרף של f(x) נמצא כולו מעל הגרף של g(x).
מגדירים פונקציה חדשה: h(x)=f(x)−g(x)
א. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה h(x). ב. כמה נקודות קיצון יש לפונקציה h(x) בתחום שבין A ל-C, ומה סוגן?
