מתמטיקה · משוואות לוגריתמיות ורדיקליות

שלב 1: שלב 1: תחום הגדרה משולב (לוגים, שורשים ומכנה)

במשוואה זו יש מספר מגבלות שעלינו להתחשב בהן במערכת וגם: 1. שורש במונה: ביטוי בתוך שורש זוגי חייב להיות אי-שלילי: \(x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1\). 2. תוכן הלוג במונה: חייב להיות חיובי ממש: \(1 + \sqrt{x + 1} > 0\). מכיוון ששורש הוא תמיד חיובי או אפס, הביטוי הזה תמיד גדול או שווה ל-1 (כלומר חיובי), ולכן תנאי זה מתקיים תמיד בתחום \(x \ge -1\). 3. שורש במכנה: ביטוי בתוך שורש מסדר 4 חייב להיות אי-שלילי: \(x - 40 \ge 0 \Rightarrow x \ge 40\). 4. תוכן הלוג במכנה: חייב להיות חיובי ממש: \(\sqrt[4]{x - 40} > 0 \Rightarrow x - 40 > 0 \Rightarrow x > 40\). 5. מכנה שונה מאפס: \(\log \sqrt[4]{x - 40} \neq 0\). מכיוון ש- \(\log(1) = 0\), עלינו לדרוש: \(\sqrt[4]{x - 40} \neq 1 \Rightarrow x - 40 \neq 1 \Rightarrow x \neq 41\). חיתוך כל התנאים נותן לנו את תחום ההגדרה הסופי של המשוואה: \( x > 40 \) וגם \( x \neq 41 \)

מושגים: תחום הגדרה משולב

שלב 2: שלב 2: פישוט בעזרת חוקי לוגריתמים

נסתכל על המכנה: \(\sqrt[4]{x - 40}\) שקול לכתיבה כחזקה שברית: \((x - 40)^{\frac{1}{4}}\). לפי חוקי הלוגריתמים, אנו יכולים להוציא את החזקה החוצה כמקדם: \(\log(a^b) = b \cdot \log(a)\). \[ \frac{\log(1 + \sqrt{x + 1})}{\frac{1}{4} \log(x - 40)} = 4 \] נכפול את שני האגפים במכנה (\(\frac{1}{4} \log(x - 40)\)): \[ \log(1 + \sqrt{x + 1}) = 4 \cdot \frac{1}{4} \log(x - 40) \] המקדם 4 והשבר \(\frac{1}{4}\) מצטמצמים ל-1, ונשארנו עם: \[ \log(1 + \sqrt{x + 1}) = \log(x - 40) \]

מושגים: חוקי לוגריתמים עם שורשים

שלב 3: שלב 3: הסרת הלוגריתמים וטיפול במשוואת שורש

מכיוון שהלוגריתמים בשני האגפים בעלי אותו בסיס (בסיס 10), ניתן להשוות את התכנים שלהם: \[ 1 + \sqrt{x + 1} = x - 40 \] נסדר את המשוואה כך שהשורש יישאר לבד באגף אחד (כדי שנוכל להעלות בריבוע): \[ \sqrt{x + 1} = x - 41 \] זהירות! אנו עומדים להעלות את שני האגפים בריבוע. פעולה זו עלולה להמציא פתרונות שקריים. השורש הריבועי (באגף שמאל) הוא תמיד אי-שלילי. לכן, כדי שיהיה פתרון אמיתי, גם אגף ימין חייב להיות אי-שלילי. נוסיף תנאי חדש (תנאי העלאה בריבוע): \( x - 41 \ge 0 \Rightarrow x \ge 41 \) בשילוב עם תחום ההגדרה ההתחלתי שדרש \(x \neq 41\), אנו מבינים שהפתרון חייב לקיים: \(x > 41\).

מושגים: משוואות רדיקליות ופסילת פתרונות

שלב 4: שלב 4: העלאה בריבוע ופתרון משוואה ריבועית

נעלה את שני האגפים בריבוע (נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) באגף ימין): \[ x + 1 = (x - 41)^2 \] \[ x + 1 = x^2 - 82x + 1681 \] נעביר את כל האיברים לאגף ימין לקבלת משוואה ריבועית מסודרת: \[ 0 = x^2 - 83x + 1680 \] נפתור באמצעות נוסחת השורשים: \[ x_{1,2} = \frac{83 \pm \sqrt{(-83)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1680}}{2} = \frac{83 \pm \sqrt{6889 - 6720}}{2} = \frac{83 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{83 \pm 13}{2} \] קיבלנו שני פתרונות אפשריים: - \( x_1 = \frac{83 + 13}{2} = \frac{96}{2} = 48 \) - \( x_2 = \frac{83 - 13}{2} = \frac{70}{2} = 35 \)

שלב 5: שלב 5: סינון הפתרונות מול תנאי ההגדרה

כעת נבדוק את הפתרונות מול התנאי המחמיר שקבענו בשלב 3 (\(x > 41\)): - עבור \( x_2 = 35 \): התנאי לא מתקיים (\(35 \ngtr 41\)). בנוסף, זה נופל מחוץ לתחום ההגדרה הראשוני (\(x > 40\)). לכן, פתרון זה נפסל. (הוא פתרון שקרי שנוצר מההעלאה בריבוע). - עבור \( x_1 = 48 \): התנאי מתקיים במלואו (\(48 > 41\)). זהו פתרון חוקי. לסיכום, הפתרון היחיד של המשוואה הוא: \( x = 48 \).