חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · אינטגרלים, שטחים וגרף הנגזרת

השאלה

בשרטוט שלפניך מוצגים גרף הפונקציה $ f(x) $ (בצבע שחור) וגרף פונקציית הנגזרת שלה $ f'(x) $ (בצבע אדום). ידוע כי לפונקציה $ f(x) $ יש נקודת מינימום ב- $ x = 0 $ ונקודת מקסימום נוספת בתחום החיובי. השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $ f(x) $, ציר ה- $ x $, והישרים $ x = -3 $ ו- $ x = 0 $ מסומן ב- $ S_1 $. השטח הכלוא בין גרף פונקציית הנגזרת $ f'(x) $, ציר ה- $ x $, והישרים $ x = -3 $ ו- $ x = 0 $ מסומן ב- $ S_2 $. א. הבע באמצעות $ S_1 $ ו- $ S_2 $ את ערך האינטגרל $ \int_{-3}^{0} (f(x) - f'(x)) dx $. ב. קבע איזה מבין שני הביטויים הבאים גדול יותר, ונמק את קביעתך מפורשות: \[ \int_{-3}^{0} (f(x) - f'(x)) dx \quad \text{או} \quad \int_{-3}^{0} (f(x) + f'(x)) dx \]

הטיפ של עובד

כאשר מבקשים מאיתנו להשוות בין אינטגרלים שמכילים סכום או הפרש של פונקציות, חשוב מאוד להפריד בין "שטח" ל"אינטגרל". 1. אינטגרל של הפרש בין פונקציה עליונה לתחתונה תמיד נותן לנו את סך כל השטח הגיאומטרי הכלוא ביניהן (ולכן הוא תמיד חיובי ומחבר את כל החלקים). 2. אינטגרל מופרד של פונקציה בודדת "מתחשב" במיקום שלה ביחס לציר ה- $ x $: אם הפונקציה נמצאת מתחת לציר ה- $ x $, האינטגרל יחזיר גודל של שטח אך בסימן מינוס!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א'

עלינו לחשב את משמעותו של האינטגרל $ \int_{-3}^{0} (f(x) - f'(x)) dx $. על פי השרטוט, בתחום שבין $ x = -3 $ ל- $ x = 0 $: • גרף הפונקציה $ f(x) $ נמצא כולו מעל ציר ה- $ x $, כלומר הפונקציה חיובית. • גרף הנגזרת $ f'(x) $ נמצא כולו מתחת לציר ה- $ x $, כלומר הנגזרת שלילית. מכיוון ש- $ f(x) $ נמצאת מעל $ f'(x) $, הביטוי שבתוך האינטגרל מייצג "פונקציה עליונה פחות פונקציה תחתונה". אינטגרל כזה מחזיר תמיד את סך השטח הגיאומטרי הכלוא בין שתי הפונקציות בתחום הנתון. השטח הכולל בין שתי הפונקציות מורכב משני חלקים המופרדים על ידי ציר ה- $ x $: \[ \text{Total Area} = S_1 + S_2 \] ולכן ערך האינטגרל שווה לסכום השטחים. לסיכום סעיף א': ערך האינטגרל הוא $ S_1 + S_2 $.

מושגים: שטח כלוא בין שתי פונקציות

שלב 2: סעיף ב'

ננתח את הביטוי השני המבוקש: $ \int_{-3}^{0} (f(x) + f'(x)) dx $. נשתמש בתכונת האדיטיביות (חיבוריות) של האינטגרל המאפשרת לנו לפרק סכום של פונקציות לשני אינטגרלים נפרדים: \[ \int_{-3}^{0} (f(x) + f'(x)) dx = \int_{-3}^{0} f(x) dx + \int_{-3}^{0} f'(x) dx \] כעת, נחשב כל אחד מהאינטגרלים בנפרד בהתייחס לשטחים הגיאומטריים: • האינטגרל של $ f(x) $ בתחום זה מייצג פונקציה שנמצאת מעל ציר ה- $ x $, ולכן ערכו הוא חיובי ושווה לשטח: $ S_1 $. • האינטגרל של $ f'(x) $ בתחום זה מייצג פונקציה שנמצאת כולה מתחת לציר ה- $ x $. לכן, ערך האינטגרל שווה למינוס השטח: $ -S_2 $. נחבר את התוצאות, ונקבל כי ערך הביטוי השני הוא: \[ S_1 + (-S_2) = S_1 - S_2 \] כעת נשווה בין שני הביטויים שחישבנו: הביטוי הראשון (מסעיף א') הוא $ S_1 + S_2 $. הביטוי השני הוא $ S_1 - S_2 $. מכיוון ששטחים תמיד מיוצגים על ידי ערכים חיוביים ( $ S_1 > 0 $ ו- $ S_2 > 0 $ ), אנו מסיקים בבירור כי חיבור של שני שטחים חיוביים יהיה גדול מחיסור שלהם. \[ S_1 + S_2 > S_1 - S_2 \] לסיכום סעיף ב': הביטוי $ \int_{-3}^{0} (f(x) - f'(x)) dx $ גדול יותר.

מושגים: האינטגרל המסוים כשטח מכוון, תכונת האדיטיביות של האינטגרל

תשובות סופיות

התשובות הסופיות: א. $ S_1 + S_2 $. ב. הביטוי $ \int_{-3}^{0} (f(x) - f'(x)) dx $ גדול יותר.

חזרה לקטלוג

#304חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

אינטגרלים, שטחים וגרף הנגזרת

קראו את השאלה

שאלה

בשרטוט שלפניך מוצגים גרף הפונקציה $f(x)$ (בצבע שחור) וגרף פונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ (בצבע אדום). ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מינימום ב- $x = 0$ ונקודת מקסימום נוספת בתחום החיובי.

השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f(x)$ , ציר ה- $x$ , והישרים $x = -3$ ו- $x = 0$ מסומן ב- $S_1$ . השטח הכלוא בין גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , ציר ה- $x$ , והישרים $x = -3$ ו- $x = 0$ מסומן ב- $S_2$ .

א. הבע באמצעות $S_1$ ו- $S_2$ את ערך האינטגרל $\int_{-3}^{0} (f(x) - f'(x)) dx$ . ב. קבע איזה מבין שני הביטויים הבאים גדול יותר, ונמק את קביעתך מפורשות: $\int_{-3}^{0} (f(x) - f'(x)) dx \quad \text{או} \quad \int_{-3}^{0} (f(x) + f'(x)) dx$

אינטגרל מסויםהשוואת שטחיםגרף נגזרתפונקציה קדומה