בשרטוט שלפניכם מוצג גרף הפונקציה \( f(x) \). לפונקציה יש אסימפטוטות המאונכות לציר ה- \( x \) ב- \( x = -3 \) וב- \( x = 3 \). עבור אילו ערכי \( n \) האינטגרל הבא שלילי? \[ \int_{n+1}^{n+2} 2 \cdot f(x) \cdot f'(x) dx \]
כשאתם רואים אינטגרל שמכיל את הפונקציה מוכפלת בנגזרת שלה, במקום להיבהל מהביטוי הארוך, חפשו את פונקציית האב! ביטוי מהצורה \( 2 \cdot f(x) \cdot f'(x) \) הוא בדיוק הנגזרת של מורכבת: \( (f(x))^2 \). אחרי שתעשו את האינטגרציה, תשאלו את עצמכם: מתי ההפרש בין הריבועים יהיה שלילי? ואיך המגמה של הפונקציה בשרטוט (מתקרבת לאפס או מתרחקת ממנו) משפיעה על הערך המוחלט שלה? שימו לב במיוחד לאסימפטוטות - האינטגרל חייב להיות רציף בגבולות שלו!
נביט על הפונקציה בתוך האינטגרל: \( 2 \cdot f(x) \cdot f'(x) \). אנו יכולים לזהות שביטוי זה הוא בדיוק הנגזרת של הפונקציה המורכבת \( (f(x))^2 \), שכן על פי כלל השרשרת: \( [(f(x))^2]' = 2 \cdot f(x) \cdot f'(x) \). לכן, נוכל לבצע את האינטגרציה המסוימת באופן מיידי: \[ \int_{n+1}^{n+2} 2 \cdot f(x) \cdot f'(x) dx = \left[ (f(x))^2 \right]_{n+1}^{n+2} \] נציב את גבולות האינטגרציה כדי לקבל את הביטוי האלגברי של השטח: \[ (f(n+2))^2 - (f(n+1))^2 \]
מושגים: זיהוי נגזרת פנימית באינטגרל
אנו מחפשים עבור אילו ערכי \( n \) האינטגרל שלילי. נדרוש: \[ (f(n+2))^2 - (f(n+1))^2 < 0 \] \[ (f(n+2))^2 < (f(n+1))^2 \] כלומר, אנו מחפשים תחום שבו הערך המוחלט של הפונקציה בנקודה הימנית ( \( n+2 \) ) קטן יותר מהערך המוחלט שלה בנקודה השמאלית ( \( n+1 \) ). בנוסף, קטע האינטגרציה \( [n+1, n+2] \) חייב להיות רציף, ולכן אינו יכול "לחצות" אסימפטוטה אנכית.
מושגים: תחום רציפות של אינטגרל מסוים
לפונקציה יש אסימפטוטות ב- \( x = -3 \) וב- \( x = 3 \). נבדוק את שני התחומים בהם הפונקציה מוגדרת ורציפה: אפשרות 1: התחום \( x > 3 \) כדי שהקטע \( [n+1, n+2] \) יהיה כולו בתחום זה, נדרוש \( n+1 > 3 \), כלומר \( n > 2 \). נביט בגרף בתחום זה: הפונקציה חיובית ויורדת (מתקרבת ל-0). מכיוון ש- \( n+2 > n+1 \), מתקיים: \[ 0 < f(n+2) < f(n+1) \] מאחר והערכים חיוביים, העלאה בריבוע שומרת על כיוון אי השוויון: \[ (f(n+2))^2 < (f(n+1))^2 \] תנאי זה תואם בדיוק למה שחיפשנו. לכן \( n > 2 \) הוא פתרון. אפשרות 2: התחום \( x < -3 \) כדי שהקטע יהיה כולו בתחום זה, נדרוש \( n+2 < -3 \), כלומר \( n < -5 \). נביט בגרף בתחום זה: הפונקציה שלילית, וככל שמתקדמים ימינה (מ- \( n+1 \) ל- \( n+2 \) ) הערכים נהיים "יותר שליליים" (הגרף צונח כלפי מטה לאסימפטוטה). כלומר, בערך מוחלט מתקיים: \( |f(n+2)| > |f(n+1)| \). אם נעלה בריבוע, נקבל: \[ (f(n+2))^2 > (f(n+1))^2 \] זה נותן אינטגרל חיובי, ולכן תחום זה אינו מתאים.
מושגים: קריאת גרף והסקת ערכים מוחלטים
האינטגרל יהיה שלילי רק בתחום הימני, ולכן התשובה היא \( n > 2 \).
התשובה הסופית: האינטגרל שלילי עבור: \( n > 2 \)
בשרטוט שלפניכם מוצג גרף הפונקציה f(x).
לפונקציה יש אסימפטוטות המאונכות לציר ה- x ב- x=−3 וב- x=3.
עבור אילו ערכי n האינטגרל הבא שלילי? ∫n+1n+22⋅f(x)⋅f′(x)dx
