חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · פונקציית אינטגרל (פונקציית הצטברות)

השאלה

נתונים: לפניכם סקיצה של גרפי הפונקציות $ f(x) $ ו- $ g(x) $. - שתי הפונקציות קעורות כלפי מטה לאורך כל תחום הגדרתן. - לפונקציה הכחולה $ f(x) $ יש אסימפטוטה אופקית $ y=0 $ ואסימפטוטה אנכית ב-$ x=6 $. - הגרפים נחתכים בנקודה שבה $ x=3 $. מגדירים פונקציה חדשה $ S(x) $ באופן הבא: $ S(x) = \int_{x}^{5} \left( f(t) - g(t) \right) \,dt $ השאלה: עבור איזה ערך של $ x $ ל- $ S(x) $ יש קיצון ומה סוג הקיצון? נמקו.

הטיפ של עובד

שימו לב היטב לגבולות האינטגרל: $ x $ נמצא למטה, ו-5 נמצא למעלה! לפי תכונות האינטגרל המסוים: $ \int_{x}^{5} h(t) dt = -\int_{5}^{x} h(t) dt $. לכן, כשנגזור את $ S(x) $ בעזרת המשפט היסודי של החדו"א, נקבל את הפונקציה הפנימית בסימן מינוס: $ S'(x) = -(f(x) - g(x)) = g(x) - f(x) $. זו נקודה קריטית לקביעת תחומי העלייה והירידה הנכונים!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: דרך א': פתרון אלגברי מדויק (שימוש בנגזרת של אינטגרל)

נכתוב במפורש את פונקציית האינטגרל הנתונה: $ S(x) = \int_{x}^{5} \left( f(t) - g(t) \right) \,dt $ נשתמש בתכונת חילוף הגבולות של האינטגרל (כופלים במינוס אחד): $ S(x) = - \int_{5}^{x} \left( f(t) - g(t) \right) \,dt $ 1. גזירה ומציאת נקודות חשודות לקיצון: כעת, לפי המשפט היסודי של החדו"א, נגזור את הפונקציה (המינוס נשאר): $ S'(x) = -\left( f(x) - g(x) \right) = g(x) - f(x) $ נשווה את הנגזרת לאפס כדי למצוא קיצון: $ S'(x) = 0 \implies g(x) - f(x) = 0 \implies g(x) = f(x) $ המשמעות היא שנקודות הקיצון נמצאות בנקודות החיתוך. בגרף נתונה לנו נקודת חיתוך יחידה ב- $ x=3 $. 2. קביעת סוג הקיצון ב- $ x=3 $: נבדוק את סימן הנגזרת החדשה שלנו, $ S'(x) = g(x) - f(x) $, משמאל ומימין לנקודה 3: - משמאל ל-3 ($ x < 3 $): הפונקציה הירוקה $ g(x) $ נמצאת מתחת לפונקציה הכחולה $ f(x) $. כלומר: $ g(x) < f(x) \implies g(x) - f(x) < 0 $. מסקנה: הנגזרת $ S'(x) $ שלילית, ולכן הפונקציה $ S(x) $ יורדת. - מימין ל-3 ($ x > 3 $): הפונקציה הירוקה $ g(x) $ נמצאת מעל לפונקציה הכחולה (שצוללת לעבר האסימפטוטה). כלומר: $ g(x) > f(x) \implies g(x) - f(x) > 0 $. מסקנה: הנגזרת $ S'(x) $ חיובית, ולכן הפונקציה $ S(x) $ עולה. ירידה לפני הנקודה ועלייה אחריה $\Rightarrow$ בנקודה $ x=3 $ יש לפונקציה נקודת מינימום.

מושגים: המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, קביעת סוג קיצון, נגזרת של אינטגרל מסוים

שלב 2: דרך ב': חשיבה אינטואיטיבית (מנגנון הצטברות שטח מתמטית)

אפשר להבין את התהליך דרך חישובי השטח שהאינטגרל עושה ככל שאנחנו מציבים בו ערכי $ x $ שונים. בואו נתקדם משמאל לימין. - מה קורה כשמציבים $ x=3 $? $ S(3) = \int_{3}^{5} (f - g) dt $. בתחום זה (בין 3 ל-5), הפונקציה $ f $ נמצאת מתחת ל-$ g $. לכן הביטוי שבתוך האינטגרל ($ f - g $) הוא שלילי. אנו מחשבים אינטגרל מ-3 ועד 5 של ערכים שליליים, ולכן התוצאה תהיה שטח בסימן שלילי. (נניח: מינוס 10). - מה קורה כשמציבים $ x=4 $ (זזים ימינה)? $ S(4) = \int_{4}^{5} (f - g) dt $. השטח השלילי שנצבר מתחשב כעת על קטע קצר יותר, ולכן הוא קטן יותר בערכו המוחלט (לדוגמה: מינוס 4). מעבר מ- (מינוס 10) ל- (מינוס 4) פירושו שערך הפונקציה עולה! - מה קורה כשמציבים $ x=2 $ (זזים שמאלה מ-3)? $ S(2) = \int_{2}^{5} (f - g) dt = \int_{2}^{3} (f - g) dt + \int_{3}^{5} (f - g) dt $. החלק השני הוא השטח השלילי שחישבנו קודם (מינוס 10). אולם בחלק הראשון (בין 2 ל-3), $ f $ נמצאת מעל $ g $. הביטוי $ f - g $ שם הוא חיובי! אנו מוסיפים ערך חיובי לסכום הכללי, מה שהופך את התוצאה הסופית לפחות שלילית (לדוגמה: ממינוס 10 הוא יעלה למינוס 7). אם מ-$x=2$ (מינוס 7) התקדמנו ל-$x=3$ (מינוס 10), הרי שהפונקציה ירדה אל עבר הנקודה 3. ראינו שכאשר אנו מתקדמים על ציר ה-$x$, הפונקציה יורדת לעבר $ x=3 $ וממשיכה לעלות אחריה. לכן ב- $ x=3 $ מתקבל הערך המינימלי של הפונקציה.

מושגים: אינטגרל כשטח מצטבר, הבנה גרפית של אינטגרלים

תשובה סופית

התשובה הסופית: לפונקציה $ S(x) $ יש נקודת מינימום בנקודה שבה $ x = 3 $.

חזרה לקטלוג

#230חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

פונקציית אינטגרל (פונקציית הצטברות)

קראו את השאלה

שאלה

נתונים: לפניכם סקיצה של גרפי הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ . - שתי הפונקציות קעורות כלפי מטה לאורך כל תחום הגדרתן. - לפונקציה הכחולה $f(x)$ יש אסימפטוטה אופקית $y=0$ ואסימפטוטה אנכית ב- $x=6$ . - הגרפים נחתכים בנקודה שבה $x=3$ .

מגדירים פונקציה חדשה $S(x)$ באופן הבא: $S(x) = \int_{x}^{5} \left( f(t) - g(t) \right) \,dt$ השאלה: עבור איזה ערך של $x$ ל- $S(x)$ יש קיצון ומה סוג הקיצון? נמקו.