נתונים: לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. מתוך חקירת הפונקציה התקבלו הנתונים הבאים: - הפונקציה מוגדרת עבור $x \ge 0$ ו- $x \neq 4$. - לפונקציה נקודת מקסימום בשיעורים $(2, 0)$. - הפונקציה עוברת בנקודות $(0, -1)$ ו- $(3, -1)$. - לפונקציה אסימפטוטה אנכית $x = 4$, ועבור $x \to \infty$ היא שואפת לציר ה-$x$ ($y = 0$). השאלה: האם הטענה הבאה נכונה? $$ \int_{0}^{3} \left( f(x) + 1 \right) \,dx < 1.5 $$ (נמקו את קביעתכם)
כשמבקשים להוכיח אי-שוויון על אינטגרל בסוף שאלת חקירה, זה כמעט אף פעם לא דורש לחשב את האינטגרל עצמו (לרוב בכלל אין לכם פונקציה מפורשת). המטרה היא להשתמש בהערכת שטח. הביטוי $f(x) + 1$ אומר פשוט: קחו את הגרף והרימו אותו יחידה אחת למעלה. כעת נוצרה גבעה שיושבת בדיוק על ציר ה-$x$. הערכת שטח עובדת בשני כיוונים: - חסם עליון: השטח קטן משטח של מלבן שחוסם אותו מבחוץ. - חסם תחתון: השטח גדול משטח של משולש שחסום בתוכו מבפנים.
נתבונן בפונקציה החדשה שעליה אנו מבצעים את האינטגרציה: $g(x) = f(x) + 1$. הפעולה של הוספת 1 גורמת להזזה של כל גרף הפונקציה $f(x)$ יחידה אחת כלפי מעלה. נבדוק מה קורה לנקודות הציון המרכזיות שלנו לאחר ההזזה: - הנקודה $(0, -1)$ הופכת ל- $(0, 0)$. - הנקודה $(3, -1)$ הופכת ל- $(3, 0)$. - נקודת המקסימום ב- $(2, 0)$ עולה ל- $(2, 1)$. כלומר, בקטע $[0, 3]$, נוצרה לנו גבעה חיובית שמתחילה ומסתיימת בדיוק על ציר ה-$x$, וגובהה המקסימלי הוא 1.
מושגים: הזזה אנכית, קריאת נקודות מגרף
האינטגרל המבוקש $\int_{0}^{3} \left( f(x) + 1 \right) \,dx$ מייצג את השטח הכלוא תחת הגבעה שבנינו בסעיף הקודם. כדי לקבל הערכה כללית על גודלו, נבנה סביבו מלבן חוסם: - בסיס המלבן: יושב על ציר ה-$x$ בין 0 ל-3 (אורך הבסיס הוא 3). - גובה המלבן: גובה המקסימום של הפונקציה (גובה המלבן הוא 1). שטח המלבן הוא: $3 \times 1 = 3$. כיוון שהגבעה לא ממלאת את כל המלבן, אנו יודעים בוודאות כי האינטגרל קטן מ-3. עם זאת, נתון זה לא מסייע לנו לקבוע האם הוא קטן מ-1.5 כפי שנשאלנו.
מושגים: חסם עליון של אינטגרל, שטח מלבן
מכיוון שהחסם העליון לא עזר, ננסה להעריך את השטח מבפנים באמצעות משולש חסום. נמתח משולש שקודקודיו הם נקודות ההתחלה והסיום על ציר ה-$x$, וקודקוד הראש שלו הוא נקודת המקסימום של הפונקציה: - הקודקודים: $(0, 0), (3, 0)$ וקודקוד הפסגה $(2, 1)$. - בסיס המשולש: 3 יחידות. - גובה המשולש: 1 יחידה. נחשב את שטח המשולש (בסיס כפול גובה חלקי 2): $$ S_{\Delta} = \frac{3 \cdot 1}{2} = 1.5 $$ המשולש ששטחו 1.5 כלוא בתוך שטח האינטגרל. אנו רואים ששטח המשולש, ששווה ל-1.5 בדיוק, מוכל במלואו בתוך השטח שמתחת לגרף הפונקציה, וישנן עוד תוספות של שטח מעל צלעות המשולש ועד לקשת הפונקציה. $$ \int_{0}^{3} \left( f(x) + 1 \right) \,dx > 1.5 $$ לכן, הטענה בשאלה (שהשטח קטן מ-1.5) אינה נכונה.
מושגים: חסם תחתון של אינטגרל, שטח משולש, השוואת שטחים
התשובה הסופית: הטענה אינה נכונה.
נתונים: לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה f(x). מתוך חקירת הפונקציה התקבלו הנתונים הבאים: - הפונקציה מוגדרת עבור x≥0 ו- x=4. - לפונקציה נקודת מקסימום בשיעורים (2,0). - הפונקציה עוברת בנקודות (0,−1) ו- (3,−1). - לפונקציה אסימפטוטה אנכית x=4, ועבור x→∞ היא שואפת לציר ה-x (y=0).
השאלה: האם הטענה הבאה נכונה? ∫03(f(x)+1)dx<1.5 (נמקו את קביעתכם)
