נתונה הפונקציה \( f(x) \) המוגדרת לכל \( x \). לגרף הפונקציה יש שתי נקודות קיצון: נקודת מינימום בשיעורים \( (2, -3) \) ונקודת מקסימום בשיעורים \( (-2, 3) \). גרף הפונקציה חותך את ציר ה- \( x \) בנקודות \( x=0, x=3, x=-3 \). א. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה \( g(x) = f(0.5x) \) וקבע את סוגן. ב. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה \( h(x) = f(-0.5x) \) וקבע את סוגן.
כאשר יש לנו טרנספורמציה מהצורה \( f(c \cdot x) \), זוהי טרנספורמציה "אקורדיון" אופקית (על ציר ה-x). אם מכפילים את x במספר שקטן מ-1 (כמו חצי), זה בעצם מותח את הגרף פי 2, כלומר שיעורי ה-x מוכפלים פי 2 (ה-y נשאר זהה). אם מכפילים במספר גדול מ-1 (כמו 2), זה מכווץ את הגרף פי 2, וה-x מחולק ב-2. חשוב לזכור: פעולות בתוך הסוגריים פועלות "הפוך" לאינטואיציה! בנוסף, כאשר יש מינוס בתוך הסוגריים \( f(-x) \), מדובר בשיקוף סביב ציר ה-y, מה שהופך את הסימן של כל שיעורי ה-x ומשנה מקסימום למינימום וההפך בהתייחס לערכי ה-x החדשים (אך ערך ה-y של הנקודה עצמה לא משתנה).
נתונה הפונקציה \( g(x) = f(0.5x) \). אנו צריכים למצוא את נקודות הקיצון שלה על סמך נקודות הקיצון של \( f(x) \). לפונקציה המקורית \( f(x) \) יש: • נקודת מקסימום ב- \( x = -2 \) עם ערך פונקציה \( y = 3 \). • נקודת מינימום ב- \( x = 2 \) עם ערך פונקציה \( y = -3 \). כאשר אנו מחפשים נקודת קיצון עבור \( g(x) \), אנו מחפשים איזה ערך של \( x \) יגרום לביטוי בתוך הסוגריים של \( f \) להיות שווה לשיעורי ה- \( x \) של נקודות הקיצון המקוריות. עבור נקודת המקסימום: \[ 0.5x = -2 \] \[ x = -4 \] ערך הפונקציה (שיעור ה- \( y \)) נשאר ללא שינוי, לכן הנקודה היא \( (-4, 3) \) וזו נקודת מקסימום. עבור נקודת המינימום: \[ 0.5x = 2 \] \[ x = 4 \] ערך הפונקציה נשאר ללא שינוי, לכן הנקודה היא \( (4, -3) \) וזו נקודת מינימום. לסיכום סעיף א': נקודת מינימום ב- \( (4, -3) \) ונקודת מקסימום ב- \( (-4, 3) \).
מושגים: טרנספורמציה אופקית (מתיחה/כיווץ)
נתונה הפונקציה \( h(x) = f(-0.5x) \). אנו יכולים להסתכל על טרנספורמציה זו בשני שלבים, או להסתמך ישירות על התוצאות של סעיף א'. דרך 1: הסתמכות על סעיף א' (שיקוף) נשים לב שמתקיים: \( h(x) = g(-x) \). כלומר, הפונקציה \( h(x) \) היא שיקוף של הפונקציה \( g(x) \) (אותה מצאנו בסעיף א') סביב ציר ה- \( y \). שיקוף סביב ציר ה- \( y \) משנה את הסימן של שיעורי ה- \( x \) של כל נקודה, אך לא משנה את שיעורי ה- \( y \). • נקודת המקסימום של \( g(x) \) ב- \( (-4, 3) \) תשתקף לנקודת מקסימום ב- \( (4, 3) \). • נקודת המינימום של \( g(x) \) ב- \( (4, -3) \) תשתקף לנקודת מינימום ב- \( (-4, -3) \). דרך 2: חישוב ישיר נשווה את הביטוי הפנימי לשיעורי ה- \( x \) של נקודות הקיצון של \( f(x) \): עבור המקסימום המקורי ב- \( x = -2 \): \[ -0.5x = -2 \] \[ x = 4 \] לכן יש נקודת מקסימום ב- \( (4, 3) \). עבור המינימום המקורי ב- \( x = 2 \): \[ -0.5x = 2 \] \[ x = -4 \] לכן יש נקודת מינימום ב- \( (-4, -3) \). לסיכום סעיף ב': נקודת מינימום ב- \( (-4, -3) \) ונקודת מקסימום ב- \( (4, 3) \).
מושגים: שיקוף פונקציה סביב ציר y, הרכבת טרנספורמציות
התשובה הסופית: א. מינימום: \( (4, -3) \), מקסימום: \( (-4, 3) \). ב. מינימום: \( (-4, -3) \), מקסימום: \( (4, 3) \).
נתונה הפונקציה f(x) המוגדרת לכל x. לגרף הפונקציה יש שתי נקודות קיצון: נקודת מינימום בשיעורים (2,−3) ונקודת מקסימום בשיעורים (−2,3). גרף הפונקציה חותך את ציר ה- x בנקודות x=0,x=3,x=−3.
א. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)=f(0.5x) וקבע את סוגן. ב. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה h(x)=f(−0.5x) וקבע את סוגן.
