חזרה לקטלוג
#130אלגברה
אי-שוויונותקראו את השאלה
שאלה
פתרו את אי-השוויון הבא:
אלגברה · אי-שוויונות
השאלה
פתרו את אי-השוויון הבא: \( \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{x^2 + 2x + 10} < 0 \)
הטיפ של עובד
אל תרוצו לעשות מכנה משותף מסובך או שיטת נחש שלמה לפני שבדקתם את המכנה! באי-שוויונות שבריים, המכנה קובע את תחומי האי-הגדרה ואת שינויי הסימנים. אבל לפעמים קורה נס והמכנה הוא תמיד חיובי לכל ערך של x! איך מזהים את זה? בודקים את הדיסקרימיננטה (הדלתא) של המכנה הריבועי. אם קיבלתם דלתא שלילית (\( \Delta < 0 \)) והמקדם של \( x^2 \) חיובי, סימן שהמכנה הוא פרבולה מרחפת שתמיד חיובית ממש. במצב כזה, מותר לכם פשוט להעיף את המכנה ולהתרכז אך ורק במונה!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: בדיקת המכנה ותחום ההגדרה
האי-שוויון הנתון הוא: \( \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{x^2 + 2x + 10} < 0 \). נבדוק את תנאי האי-התאפסות של המכנה \( x^2 + 2x + 10 \neq 0 \). נחשב את הדיסקרימיננטה (דלתא) של הביטוי הריבועי במכנה: \( \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36 \). מכיוון ש- \( \Delta < 0 \) והמקדם המוביל חיובי (\( a = 1 > 0 \)), המשמעות היא שהפרבולה במכנה מרחפת ותמיד נמצאת מעל ציר ה-x. המכנה תמיד חיובי ממש לכל ערך של x: \( x^2 + 2x + 10 > 0 \). לכן, תחום ההגדרה הוא כל מספר ממשי, ואי-השוויון המקורי שקול לחלוטין לפתרון המונה בלבד: \( x^4 - 5x^2 + 4 < 0 \).
מושגים: חקירת סימן של תלת-איבר ריבועי
שלב 2: פירוק לגורמים של המונה (דו-ריבועי)
עלינו לפתור את אי-השוויון \( x^4 - 5x^2 + 4 < 0 \). זהו ביטוי דו-ריבועי. נסמן זמנית: \( t = x^2 \). נקבל את התלת-איבר הריבועי הבא: \( t^2 - 5t + 4 < 0 \). נפרק את הביטוי לגורמים באמצעות טרינום (נחפש שני מספרים שמכפלתם 4 וסכומם -5, והם -1 ו- -4): \( (t - 1)(t - 4) < 0 \). נחזור חזרה להצבה המקורית \( t = x^2 \): \( (x^2 - 1)(x^2 - 4) < 0 \). כעת, נשתמש בנוסחת הפרש ריבועים \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) כדי לפרק את שני הגורמים לגורמים ליניאריים פשוטים: \( (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) < 0 \).
מושגים: פתרון משוואה ואי-שוויון דו-ריבועי
שלב 3: שיטת התחומים (הנחש) וקביעת סימנים
נקודות איפוס המונה הן נקודות המעבר שבהן הביטוי עשוי להחליף סימן: \( x = -2 , x = -1 , x = 1 , x = 2 \). נקודות אלו מחלקות את ציר המספרים לחמישה תחומים. נבדוק את סימן המונה בכל תחום (ניתן להציב ערכי נציג). אנו מחפשים את התחומים שבהם הביטוי שלילי ממש (קטן מאפס).
מושגים: שיטת התחומים (הנחש)
תשובה סופית
התשובה הסופית: \( -2 < x < -1 \) או \( 1 < x < 2 \)