חקירת פונקציות · פונקציית מכפלה ושורש

שלב 1: סעיף א' - תחום הגדרה

הפונקציה כוללת שורש זוגי. הדרישה היא שהביטוי בתוך השורש יהיה אי-שלילי (גדול או שווה לאפס): 3x - 6 \ge 0 נעביר אגפים ונחלק ב-3: 3x \ge 6 \quad \Rightarrow \quad x \ge 2 תחום ההגדרה: \( x \ge 2 \).

שלב 2: סעיף ב' - מציאת הפרמטר a

נתון שהנקודה \( (5, 9) \) נמצאת על גרף הפונקציה. נציב \( x=5 \) ו-\( y=9 \) בתבנית הפונקציה: 9 = (a - 5) \cdot \sqrt{3(5) - 6} נחשב את הביטוי שבתוך השורש: 9 = (a - 5) \cdot \sqrt{15 - 6} 9 = (a - 5) \cdot \sqrt{9} 9 = (a - 5) \cdot 3 נחלק את המשוואה ב-3, ונעביר אגפים למציאת \( a \): 3 = a - 5 \quad \Rightarrow \quad a = 8 מסקנה: \( a = 8 \). הפונקציה כעת היא \( f(x) = (8 - x)\sqrt{3x - 6} \).

שלב 3: סעיף ג' - נקודות חיתוך עם ציר ה-x

למציאת חיתוך עם ציר ה-x, נציב \( f(x) = 0 \): 0 = (8 - x) \cdot \sqrt{3x - 6} מכפלה שווה לאפס כאשר אחד מהגורמים מתאפס. נפצל לשני מקרים: אפשרות 1: 8 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 8 אפשרות 2: \sqrt{3x - 6} = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 שני הפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה (\( x \ge 2 \)). נקודות החיתוך עם ציר x הן: \( (8, 0) \) ו- \( (2, 0) \).

שלב 4: סעיף ד' - נקודות קיצון וסוגן

ראשית נגזור את הפונקציה \( f(x) = (8 - x)\sqrt{3x - 6} \) לפי כלל המכפלה \( (uv)' = u'v + uv' \): \( u = 8 - x \quad \Rightarrow \quad u' = -1 \) \( v = \sqrt{3x - 6} \quad \Rightarrow \quad v' = \frac{3}{2\sqrt{3x - 6}} \) f'(x) = -1 \cdot \sqrt{3x - 6} + (8 - x) \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x - 6}} נשווה לאפס. מומלץ להעביר את הגורם השלילי אגף כדי להימנע ממינוסים: \sqrt{3x - 6} = \frac{3(8 - x)}{2\sqrt{3x - 6}} נכפול את המשוואה במכנה (שהוא חיובי בתחום \( x > 2 \)): \sqrt{3x - 6} \cdot 2\sqrt{3x - 6} = 3(8 - x) 2(3x - 6) = 24 - 3x 6x - 12 = 24 - 3x נעביר אגפים ונחלץ את x: 9x = 36 \quad \Rightarrow \quad x = 4 נמצא את שיעור ה-y עבור \( x=4 \) בהצבה בפונקציה המקורית: f(4) = (8 - 4)\sqrt{3(4) - 6} = 4\sqrt{12 - 6} = 4\sqrt{6} בנוסף, \( x = 2 \) היא נקודת קצה תחום. מצאנו בסעיף הקודם כי ערך ה-y שלה הוא 0: \( (2, 0) \). נקבע את סוג הקיצון בעזרת טבלת תחומי עלייה וירידה (נבחר נציגים: x=3, x=5): (הצבת נציגים בנגזרת: \( f'(3) > 0 \), ולעומת זאת \( f'(5) < 0 \)) נקודות הקיצון הן: \( (4, 4\sqrt{6}) \) - נקודת מקסימום (פנימית). \( (2, 0) \) - נקודת מינימום (קצה).

מושגים: נגזרת מכפלה המשלבת שורש

שלב 5: סעיף ה' - סרטוט סקיצה

נרכז את הנקודות שמצאנו: הפונקציה מתחילה בנקודת המינימום בקצה התחום \( (2, 0) \), עולה עד לנקודת המקסימום ב-\( (4, 4\sqrt{6}) \), משם היא מתחילה לרדת וחותכת את ציר ה-x ב-\( (8, 0) \), וממשיכה לרדת אל עבר ערכים שליליים.

שלב 6: סעיף ו' (1) - התאמת גרף הנגזרת

כדי להתאים את גרף הנגזרת, נשתמש בקשר הבסיסי שבין פונקציה לנגזרתה (כפי שמופיע בטבלה מסעיף ד'): עבור \( 2 < x < 4 \): הפונקציה \( f(x) \) עולה, לכן הנגזרת צריכה להיות חיובית (מעל ציר x). בנקודה \( x = 4 \): לפונקציה יש קיצון, לכן הנגזרת מתאפסת (חותכת את ציר x). עבור \( x > 4 \): הפונקציה \( f(x) \) יורדת, לכן הנגזרת צריכה להיות שלילית (מתחת לציר x). כמו כן, נשים לב שיש אסימפטוטה אנכית לנגזרת ב-\( x=2 \) (המכנה של הנגזרת מתאפס שם). נסתכל על הגרפים המוצעים: גרף II: מתחיל כשלילי (מתחת לציר) ועובר להיות חיובי. (שגוי, בדיוק הפוך). גרפים III, IV: אלו פרבולות, שאינן מתאימות לצורת הנגזרת (שיש לה אסימפטוטה והתנהגות שורשית). בנוסף, בגרף III הנגזרת מתאפסת פעמיים. גרף I: מתחיל כערך חיובי גבוה (בגלל האסימפטוטה), יורד, חותך את ציר ה-x (בנקודה שמתאימה ל-\( x=4 \)), והופך לשלילי. התאמה מושלמת! הגרף המתאים הוא גרף I.

מושגים: קשר בין פונקציה לפונקציית הנגזרת

שלב 7: סעיף ו' (2) - חישוב שטח הנגזרת

אנו מתבקשים לחשב את השטח הכלוא על ידי גרף הנגזרת \( f'(x) \), ציר ה-x והישר \( x=14 \). מכיוון שגרף הנגזרת (גרף I) חותך את ציר ה-x ב-\( x=4 \) ונמצא מתחתיו עבור \( x > 4 \), השטח המבוקש נמצא כולו מתחת לציר ה-x (בין \( x=4 \) ל-\( x=14 \)). לכן האינטגרל יהיה בסימן מינוס: S = \int_{4}^{14} (0 - f'(x)) dx = -\int_{4}^{14} f'(x) dx האינטגרל של \( f'(x) \) הוא פשוט הפונקציה המקורית \( f(x) \). נציב את גבולות האינטגרציה (לפי משפט ניוטון-לייבניץ): S = -[f(x)]_{4}^{14} = -(f(14) - f(4)) = f(4) - f(14) נחשב את ערכי הפונקציה בקצוות: מצאנו כבר בסעיף ד': \( f(4) = 4\sqrt{6} \). נחשב את \( f(14) \): \( f(14) = (8 - 14)\sqrt{3(14) - 6} = -6\sqrt{42 - 6} = -6\sqrt{36} = -36 \). נציב חזרה בנוסחת השטח: S = 4\sqrt{6} - (-36) = 36 + 4\sqrt{6} השטח הוא: \( 36 + 4\sqrt{6} \) (או בקירוב: \( 45.8 \) יח"ר).

מושגים: משפט ניוטון-לייבניץ (אינטגרל של נגזרת)

שלב 8: תשובות סופיות

א. \( x \ge 2 \) ב. \( a = 8 \) ג. \( (8, 0) \) , \( (2, 0) \) ד. מקסימום פנימי: \( (4, 4\sqrt{6}) \) מינימום קצה: \( (2, 0) \) ה. סקיצה קיימת בשלב 5. ו. (1) גרף I. ו. (2) \( 36 + 4\sqrt{6} \)